Wie kann man Logiken vergleichen?

[sillyLilly]

Puhhhh... ich bin jetzt auch mal zu Wikipedia gegangen und habe da angefangen über die verschiedenen Logiksysteme zu lesen.

:gruebel:

In Abgrenzung zur klassischen Logik entstehen nichtklassische Logiksysteme, wenn man das Prinzip der Zweiwertigkeit, das Prinzip der Extensionalität oder sogar beide Prinzipien aufhebt. Nichtklassische Logiken, die durch die Aufhebung des Prinzips der Zweiwertigkeit entstehen, heißen mehrwertige Logik. Die Zahl der Wahrheitswerte (vielleicht besser: Pseudowahrheitswerte) kann dabei endlich sein (z.B. dreiwertige Logik), ist aber oft auch unendlich (z.B. Fuzzy-Logik). Hingegen verwenden Logiken, die durch die Aufhebung der Extensionalität entstehen, Junktoren (Konnektive), bei denen der Wahrheitswert des zusammengesetzten Satzes nicht mehr eindeutig aus dem Wahrheitswert seiner Teile bestimmen lässt. Ein Beispiel für nichtextensionale Logik ist die Modallogik, die die einstelligen nichtextensionalen Operatoren "es ist notwendig, dass" und "es ist möglich, dass" einführt.

Logische Systeme stehen innerhalb der Logik nicht in einem Konkurrenzverhältnis um Wahrheit oder Richtigkeit. Die Frage, welches logische System für einen bestimmten Zweck genützt werden soll, ist eher eine pragmatische.

Oft werden logische Systeme und logische Fragestellungen mit außerlogischen Fragen verwechselt oder vermischt, z.B. mit der metaphysischen Frage, welches logische System "richtig" sei, d.h. die Wirklichkeit beschreibe. Zu dieser Frage gibt es unterschiedliche Standpunkte einschließlich des positivistischen Standpunkts, dass diese Frage sinnlos sei. Diese Fragen fallen aber in andere Gebiete, z.B. Philosophie, Wissenschaftstheorie und Sprachwissenschaft.

Ich muss ehrlich sagen, dass ich das einige male lesen muss, um wenigstens einiges davon zu verstehen. Oder zumindest den Eindruck zu haben, ich würde teilweise etwas verstehen.
Bei solchen Texten habe ich manchmal das Gefühl, mir würde irgendeine Gehirnspule fehlen.

Du hast vorher von zweiwertiger Logik etwas geschrieben.
Mich würde interessieren, wie der Unterschied in der Anwendung von zweiwertiger und mehrwertiger Logik aussieht.

Im normalen Alltag sehe ich eigentlich laienhaft immer eine mehrwertige Logik.
Weil es ja nicht nur "entweder oder" gibt sondern innerhalb eines Satzes durchaus mehrere Aussagen - oder alle Aussagen wahr sein können. treffen.


:gruebel:

'Oder verstehe ich was falsch und schreibe am Thema vorbei?

Namaste
Lilly

 

[Trestone]

Vielleicht wäre es anhand eines praktischen Beispieles (oder auch mehrerer) leichter sicher zu stellen, dass wir nicht aneinander vorbeireden.

Hallo Lilly,

was vielleicht verwirrt ist, dass von der Wahrheit von Aussagen in zweierlei Weise die Rede ist, aber immer nur "wahr" gesagt wird.

Beispiel: Die Aussage A:= "Die Wiese ist grün".
Nach verbreiteter Auffassung ist A eine Tatsachenaussage und wahr, wenn die Wiese grün ist (sogenannte Korrespondenstheorie der Wahrheit).
Es gibt auch andere Wahrheitstheorien, aber ich will momentan nur auf die Unterscheidung zu logischer Wahrheit hinaus.

Der Satz B:= "Wenn A wahr ist, dann ist Nicht-A nicht wahr" ist hingegen logisch wahr. Hier brauchen wir keine "Wahrnehmung", um die Wahrheit von B zu erkennen, sondern nur die Regeln/Gesetze der Logik.

In einer mehrwertigen Logik gelten nun z.T. andere Gesetze.
Z.B. ist der Satz C:= "Jede Aussage A ist entweder wahr oder nicht wahr" dort nicht wahr, denn neben den Wahrheitswerten "wahr" und "nicht wahr" gibt es noch andere z.B. "unentscheidbar".
Hat man nur diese drei Werte, so ist die Negation einer unentscheidbaren Aussage wieder unentscheidbar.
Aber ich finde, dass die mir bekannten alternativen Logiken nicht die Substanz der Logik ändern und mehr technische Spielereien sind.

Nochmal der Kernpunkt: Über die Wahrheit von Tatsachenaussagen wie "Die Wiese ist grün" entscheidet nicht die Logik, sondern andere Instanzen, z.B. unsere Wahrnehmung.
Die Logik befasst sich mit der Verknüpfung von Tatsachenaussagen und Aussagen über solche Aussagen, sogenannte Metaaussagen.

Beispiel: "Wenn A wahr ist, dann ist A wahr" ist wahr.
Das sieht zunächst harmlos aus, aber Sätze wie "Dieser Satz ist nicht wahr"
entziehen sich der gewöhnlichen Logik.
Denn nimmt man an, der Satz sei wahr, so muss er nicht wahr sein und umgekehrt. In klassischer Logik dürfen Sätze aber nur entweder wahr oder falsch sein. (Eine mehrwertige Logik löst das Problem nicht, da dort ein analoger Widerspruch konstruiert werden kann).

Mein System von der Stufenlogik ist nun zunächst ein rein logisches System von Regeln und Gesetzen ohne Tatsachenaussagen.
Wie schlägt man hier die Brücke zu A:="Diese Wiese ist grün"?

Eine Möglichkeit ist, den Wahrheitswert von A in Stufe 1 als den Tatsachenwahrheitswert von A zu nehmen.

In Stufe 0 wäre A dann wie alle Aussagen wahr und nicht wahr zugleich.
In Stufe 1 wäre A wahr (wenn die Wiese grün ist)
In Stufe 2 könnte man A einfach den Wahrheitswert von Stufe 1 geben.
usw.

D.h. ich könnte alle Tatsachenaussagen als stufenkonstante Aussagen in mein System aufnehmen.

Durch die Stufen bin ich aber auch in der Lage, noch komplexere Metaaussagen aufzunehmen, z.B. die Aussage L mit "L wahr in Stufe t+1 wenn L nicht wahr in Stufe t ist".
Dadurch können Aussagen (und Tatsachenaussagen) viel komplexer miteinander verknüpft werden als in klassischer Logik und es gibt viel mehr mögliche Aussagen.

Das verändert v.a. Unmöglichkeitsbeweise: Was nach klassischer Logik (und Mathematik) als unmöglich bewiesen wurde, kann jetzt sehr wohl möglich sein. (Ähnlich wie es mit komplexen Zahlen eine Wurzel aus -1 gibt, was mit "klassisch reellen Zahlen" unmöglich ist.)

Vielleicht noch nicht ganz verständlich ausgedrückt, aber ganz habe ich meine eigene Theorie auch noch nicht verstanden, deshalb diskutiere ich sie ja hier.

Gruß
Trestone

 

[antimagnet]

:gruebel:

mir ist noch nicht mal klar, wozu eine dreiwertige logik gut sein soll. was kann man denn damit anstellen (außer regeln dafür zu erstellen, wie man damit umgehen soll)?

gibts in der mathematik denn sowas wie eine dreiwertige logik?

 

[Trestone]

Hallo antimagnet,

ich bin kein Experte für alternative Logiken und Mathematik,
daher ist meine Sicht der Dinge mit Vorsicht zu genießen:

Historisch ist denke ich v.a. der Konstruktivismus/Intuitionismus von Bedeutung. Dabei ging es weniger darum, dass man mit konstruktiver Logik andere Dinge (oder andere Mathematiksätze) zeigen könnte als dass man sicherere Grundlagen haben wollte, denn rund um das Unendliche waren Paradoxien aufgetreten.
Konstruktive Logik ist zwar nicht explizit dreiwertig, aber auch nicht richtig zweiwertig. (In gewisser Weise kann man damit Gödels Unvollständigkeitssatz umgehen - Stichwort Paul Lorenzen/Gentzen.)
Am besten mit "Konstruktivismus Intuitionismus" googeln oder bei Wikipedia schauen.
Vielleicht hilft auch dieser Link:
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~zuber/wozu/einstein.html

Insgesamt bleiben aber die Anwendungsgebiete für alternative Logiken abgesehen von Grundlagenfragen bisher meiner Einschätzung nach praktisch ehr Randgebiete.

Umso mehr wird es aus meiner Sicht Zeit, die Logik mal richtig "durcheinanderzuwirbeln"...

Gruß
Trestone

 

[Koryu]

hm, trestone, hast du logik irgendwie studiert?

ich hab logik I (grundkurs) hinter mir, und da lernten wir einige logiksysteme. das hat aber mit dem, was du hier schreibst nichts zu tun.

mir scheint, bei dir dreht es sich doch mehr um die frage "wann ist etwas wahr?"

 

[Aphorismus]

ich hab logik I (grundkurs) hinter mir, und da lernten wir einige logiksysteme. das hat aber mit dem, was du hier schreibst nichts zu tun.

Geht mir ganz genau so. Dreiwertige Logik hat soweit ich weiß darüber hinaus (zumindest bei Russell) die drei Wahrheitswerte "wahr", "falsch" und "bedeutungslos", nicht "wahr", "falsch" und "unentscheidbar"--auch wenn oft beides zutrifft. Die Frage danach, wie spät es vor Beginn der Zeit war, ist beispielsweise bedeutungslos, gerade weil sie per se unentscheidbar, bzw. nicht beantwortbar ist.

Natürlich stellt es einen Erkenntnisgewinn dar, wenn man feststellt, dass bestimmte Fragen unbeantwortbar und deshalb bedeutungslos sind. Die allermeisten Aussagen fallen aber in eine der beiden Kategorien "wahr" und "unwahr". Für mich ist deshalb fraglich, welchen Vorteil eine mehrwertige Logik gegenüber einer zwei-, bzw. dreiwertigen Logik a la Russell haben könnte.

Darum lautet meine Frage an Trestone: Was kann man mit deiner Logik erklären, das man nicht ebensogut mit einer einfacheren und darum imho besseren Logik (Ockham lässt grüßen) erklären könnte?

 

[Trestone]

ich hab logik I (grundkurs) hinter mir, und da lernten wir einige logiksysteme. das hat aber mit dem, was du hier schreibst nichts zu tun.

...

Darum lautet meine Frage an Trestone: Was kann man mit deiner Logik erklären, das man nicht ebensogut mit einer einfacheren und darum imho besseren Logik (Ockham lässt grüßen) erklären könnte?

Immerhin wäre das ein Kriterium, um Logiken zu vergleichen:
An ihren Früchten sollt ihr sie erkennen.
Aber wie ich weiter oben schon sagte, wäre dann die Logik "alles ist wahr" unschlagbar, da sie alle unsere bisher ungelösten Fragen beantworten könnte.

(Das Kriterium allein ist also zu schwach, es ist aber sicher wichtig.)

Der Kern meiner Meta Logik ist aus meiner Sicht übrigens nicht, dass sie in Teilen mehrwertig ist, sonder die Benutzung von Stufen, d.h. einer zusätzlichen Dimension - und damit einer Vervielfachung der logischen Möglichkeiten (v.a. erhalte ich mehr Aussagen, nicht mehr Wahrheitswerte).

Was geht nun mit Metalogik, was mit herkömmlicher Logik nicht geht?
Zum einen lassen sich in ihr verschiedene Metaebenen (Stufen) klarer beschreiben und daher fast alle logischen Paradoxa einfach(er) analysieren.

Nicht nur das klassische "dieser Satz ist nicht wahr" sondern auch z.B. das Paradoxon von Richard: "Sei m die kleinste natürliche Zahl, die sich nicht mit weniger als hundert Tastaturanschlägen beschreiben lässt."

In der Mathematik lässt sich mit Meta Logik und Meta Mengenlehre ein System schaffen, in dem es die Menge aller Mengen gibt und in dem viel weniger Axiome nötig sind als in der zur Zeit üblichen ZFC. Zudem greift auch Cantors umstrittener Beweis zu unterschiedlichen Unendlichkeiten nicht mehr, ja ich vermute sogar, dass auch Gödels Unvollständigkeitssatz nicht auf dieses System zutrifft. D.h in dieser Mathematik könnte jeder wahre Satz auch beweisbar sein. Offen ist allerdings noch, ob es genug Sätze gibt, um spannende Mathematik damit zu machen. (Ich glaube ja.)

In der Informatik ist mit Meta Logik der Beweis des Halteproblems hinfällig,
d.h. bei geeigneter Erweiterung des Algorithmusbegriffes fällt diese große Beschränkung weg - neuartige Computer (Nicht-Turingmaschinen) sind damit denkbar.

Aber eigentlich finde ich Theorien am schönsten, wenn sie noch nicht fertig und ausgereift sind und Früchte bringen. Dann ist man nur auf seine Intuition angewiesen, ob es sich lohnt, einen Weg weiterzuverfolgen und man kann sich sogar noch viel weitergehende Folgen ausmalen:
z.B. Überwindung des Begründungstrilemmas (Erstbegründungsproblem), Geist-Körper-Beziehung, Realitätsbegriff in der Quantentheorie, Willensfreiheit, Erklärung von Zeit usw.

Als Möglichkeit steckt das alles in einer neuen Logik - bis diese so weit ausgereift ist, dass man es widerlegen kann.

Intuitiv halte ich meine Metalogik noch nicht für den allergrößten Wurf (sie ist mir zu technisch und nicht einfach genug - so ähnlich wie die Quantentheorie), andererseits komme ich immer wieder auf sie zurück, weil mir bisher kein vielversprechenderer Kandidat begegnet ist.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Noch ein Vorteil von Meta Logik und Meta Mengenlehre:
Es lassen sich relativ leicht große Teilbereiche als widerspruchsfrei abgrenzen, z.B. alles was hierarchisch bzgl. t definiert wird.
In klassischer Logik und Mengenlehre ist das schwieriger.

Gruß
Trestone

 

[Aphorismus]

Vielleicht besteht meine Schwierigkeit mit deinem Voschlag darin, dass die Vorteile für mich nicht erkennbar sind. Wie könnte man denn beispielsweise das Russellsche Paradoxon der Menge aller Mengen mit deiner Meta-Logik auflösen?

 

[Trestone]

Vielleicht besteht meine Schwierigkeit mit deinem Voschlag darin, dass die Vorteile für mich nicht erkennbar sind. Wie könnte man denn beispielsweise das Russellsche Paradoxon der Menge aller Mengen mit deiner Meta-Logik auflösen?

Zunächst sei das klassische Paradoxon dargestellt:
Russell betrachtete die Menge R, deren Elemente genau aus den Mengen X bestehen, die sich nicht selbst zum Element enthalten:
R:= {X: X -e X} (wobei -e für "nicht Element von" steht).
Oder anders ausgedrückt: X e R :<-> X -e X.
Betrachtet man nun die Menge R und untersucht, ob R Element von R ist,
erhält man einen Widerspruch:
Aus R e R folgt R -e R. Und aus R -e R folgt R e R.
Daher musste man Mengen wie R via Definition verbieten.
Man kann zeigen, dass auch die Menge aller Mengen keine Menge sein kann,
da sonst R eine Menge sein müsste.

Soweit die Lage mit klassischer Logik und Mengenlehre.

Nun mit Metalogik und Metamengenlehre:
Hier gehört ja zu jeder Eigenschaft eine Stufe t.
Statt X -e X schreiben wir daher x -e(t) x .
R lässt sich damit wie folgt definieren:
Vt: x e(t+1) R :<-> x -e(t) x
In Worten: Für alle Stufen t gilt: x ist in Stufe t+1 Element von R genau wenn x sich in Stufe t nicht als Element enthält.
Da in Stufe 0 alle Mengen leer sind, gilt stets x -e(0) x, also x e(1) R.
Betrachten wir nun x=R:
Es gilt R -e(0) R; R e(1) R -> R -e(2) R -> R e(3) R -> R -e(4) R usw.
R enthält sich also für gerade Stufen zum Element, für ungerade nicht.
Damit ist R nicht paradox, denn nur ein Widerspruch in gleicher Stufe wäre ein logischer Widerspruch in der Stufentheorie.
Wir können den Widerspruch also umgehen und R ist eine "normale" Stufenmenge.
Analog kann man sehen, dass die Menge aller Mengen eine (Stufen-)menge ist:
Vt: x e(t+1) All :<-> x =(t) x
All ist die Menge aller Mengen, die zu sich selbst gleich in Stufe t sind.

In der Stufenmengenlehre bleibt man widerspruchsfrei, wenn man bei den Mengendefinitionen stufenhierarchisch vorgeht, d.h wenn die Elemente einer (neuen) Menge M in Stufe t+1 durch Eigenschaften aus Stufen kleiner oder gleich t bestimmt werden. Dabei kann man sogar Eigenschaften von M verwenden, d.h. Selbstbezüglichkeit ist unproblematisch.

Allerdings kann man so nur unendliche Mengen definieren, will man z.B. eine Menge mit genau einem Element m in Stufe t+1, so benötigt man Eigenschaften aus allen Stufen:
Vt: x e(t+1) {m} :<-> x = m (<-> Vd: x =(d) m)
Jedes t+1-Element von {m} muss in allen Stufen d die gleichen Elemente wie m haben, d.h. (überstufen-)gleich m sein.
Analog braucht man stufenübergreifende eigenschaften für die Definition der natürlichen Zahlen.

Jetzt ist die Widerspruchsfreiheit schon nicht mehr so offensichtlich.
Denn würde man z.B. die folgende Definition zulassen:
Vt: x e(t+1) R2 :<-> Vd x -e(d) x
so erhielte man den Widerspruch R2 e(t+1) R2 und R2 -e(t+1) R2.
Einen noch offensichtlicheren Widerspruch lieferte die Definition
Vt: x e(t+1) R3 :<-> x -e(t+1) x
D.h. auch in der Stufenmengenlehre muss man die Mengenbildung einschränken.
Bisher habe ich mir dazu noch keine genaueren Gedanken gemacht,
nur eben dass keine stufenimmanenten Widersprüche auftreten dürfen.

Andererseits zeigen aber meine Analysen der Beweise von Cantor und Gödel, dass dort bei Übertragung in die Stufenmengenlehre bei den Widerspruchsbeweisen Stufenwechsel wie bei der Menge R auftreten und sie daher nicht gelten.
D.h. es könnte sein, dass man mit Metamengenlehre eine Arithmetik begründen könnte, die ihre eigene Widerspruchsfreiheit zeigen könnte und in der jeder wahre Satz auch beweisbar wäre.

Für Interessierte ein Link mit u.a. mehr technischen Details:
http://www.ask1.org/fortopic17402.html

Gruß
Trestone

 

[Aphorismus]

Nun mit Metalogik und Metamengenlehre:
Hier gehört ja zu jeder Eigenschaft eine Stufe t.
Statt X -e X schreiben wir daher x -e(t) x .
R lässt sich damit wie folgt definieren:
Vt: x e(t+1) R :<-> x -e(t) x
In Worten: Für alle Stufen t gilt: x ist in Stufe t+1 Element von R genau wenn x sich in Stufe t nicht als Element enthält.
Da in Stufe 0 alle Mengen leer sind, gilt stets x -e(0) x, also x e(1) R.
Betrachten wir nun x=R:
Es gilt R -e(0) R; R e(1) R -> R -e(2) R -> R e(3) R -> R -e(4) R usw.
R enthält sich also für gerade Stufen zum Element, für ungerade nicht.
Damit ist R nicht paradox, denn nur ein Widerspruch in gleicher Stufe wäre ein logischer Widerspruch in der Stufentheorie.
Wir können den Widerspruch also umgehen und R ist eine "normale" Stufenmenge.
Analog kann man sehen, dass die Menge aller Mengen eine (Stufen-)menge ist:
Vt: x e(t+1) All :<-> x =(t) x
All ist die Menge aller Mengen, die zu sich selbst gleich in Stufe t sind.

Ich verstehe nicht wo hier der Erkenntnisgewinn liegt. Bei klassischer Logik ergibt sich ein klassisches Paradoxon, bei mehrstufiger Logik widersprechen sich Stufe 1 und Stufe 2--das kommt doch auf's gleiche raus. Das ist so als ob ich sage: "Er ist lebendig und tot!" Mit klassischer Logik ist das ein Widerspruch. Bei deiner Logik sagt man dann einfach: "Stufe 1: 'Er ist lebendig!', Stufe 2:'Er ist tot!'" und ignoriert, dass sich beides widerspricht, oder wie? :gruebel:

Für mich sieht das so aus, dass du Aussagen auseinanderreißt, die Teilaussagen auf unterschiedliche Stufen verschiebst und dann Widerspruchsfreiheit postulierst. So kann das jawohl kaum gemeint sein, oder?

Mal was ganz anderes: Meine Intuition sat mir, dass Logik sehr strigent ist und mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit korrekt. Ebenso sagt mir meine Intuition, dass die Welt, durch unser Erfahren begreifbar gemacht, voller Widersprüche ist. Eine widerspruchsfreie Logik ist meiner Meinung nach weltfremd. Und das ist kein Pessimismus.

 

[antimagnet]

wie muss ich mir denn eine widerspruchsfreie logik vorstellen? :gruebel:

 

[Aphorismus]

@ antimagnet:

Keine Ahnung. Die Essenz von Trestones Überlegung schien mir darin zu bestehen, eine Logische Form zu erschaffen, die Widerspruchsfreiheit weitesgehend ermöglicht. Das Russellsche Paradoxon der Menge aller Mengen will er auflösen, indem er die es konstituierenden Aussagen auf verschiedene Stufen hebt, so tut als hätten diese Stufen keinerlei Verbindung miteinander und dann Widerspruchsfreiheit postuliert.

Mein Beispiel sollte verdeutlichen, dass ganz simple Aussagen, die wir über die Welt machen, in der Regel mit einer klassischen Ja/Nein-Logik besser beschreibar sind als mit einer auf mich etwas willkürlich wirkenden relativistischen Meta-Logik.

Ich bin der Meinung, dass ein rational aufgebautes Universum allergrößtenteils aus Elementen bestehen muss, die als Antworten auf Ja/Nein-Fragen erfahrbar sein müssen. Subjektivität und Relativismus hin und her: Manche Ding sind 'A' oder 'nicht A', aber niemals 'beides'. Das schließt sich fast immer aus. Und das ist eine logische Regel.

Natürlich stößt auch die Logik an ihre Grenzen. Nicht alles ist einfach als Antwort auf eine Ja/Nein-Frage formulierbar. Manchmal wissen wir nicht einmal was die Frage ist, erhalten schlichtweg seltsame Versuchsergebnisse. Aber das heißt dann doch nicht, dass unsere Logik falsch ist, sondern nur, dass unsere Logik diese speziellen Phänomene nicht vernünftig erklären kann. Allerdings muss man auch dann abwägen: Was bringt eine alternative Logik an Vorteilen? Und: Funktioniert sie auch bei der Analyse ganz normaler Sätze?

 

[antimagnet]

das schreibst du mir?



wir sind da so ziemlich auf der selben seite.

deine wortwahl "widerspruchsfreie logik" hat mich auf nen gedanken gebracht. klar wäre es schön, solche mäkel wie das russelsche mengenparadoxon oder den gödel einfach auflösen zu können. doch was heißt das, wenn eine logik widerspruchsfrei ist? dann gibt es keine widersprüche mehr. nichts könnte mehr als widersprüchlich widerlegt werden. alles wäre gültig. a wäre nicht a - wir hätten eine einwertige logik. und die bringt uns rein gar nix.

Ich bin der Meinung, dass ein rational aufgebautes Universum allergrößtenteils aus Elementen bestehen muss, die als Antworten auf Ja/Nein-Fragen erfahrbar sein müssen.

das universum selbst oder unsre konzeption davon? ich denke, eher letzteres. überleg mal: ich zeige dir einen ball und sage "das ist ein ball". ist das wahr?

 

[Aphorismus]

Natürlich meine ich nur die Aussagen, die wir über das Universum machen. Das sollte in dem Satz durch das "erfahrbar" ausgedrückt werden, war aber so zu kurz wenn's auch so gemeint war). Wollte damit nur sagen, dass alle Informationen, die wir als Sinnesdaten erfassen, als Antworten auf Ja/Fragen-Fragen gesehen werden können. Die elementarsten Informationen können immer erfragt werden. "Ist es rot? Nein. Ist es gelb? Nein. Ist es blau? Ja." Funktioniert nicht immer, aber fast.

 

[sillyLilly]

pühhhh
:gruebel:
Ich muss ehrlich sagen, dass ich bei einigen Dingen von denen hier geschrieben wurde, einen Knoten im Hirn bekomme,
Schon allein beim lesen .... Ich dachte eigentlich dass ich eine einigermaßen logisch denkende Frau wäre ... aber es tut mir leid ... ich habe große Wissenlücken oder mir fehlt eine Gehirnwindung.



Wenn es für eine Frage keine befriedigende "Ja / Nein Antwort" gibt .... liegt das dann an dem Antwortsystem oder an der Frage?

Ich kenne das Russellsche Paradoxon nicht und irgendwie will es sich mir auch nicht erschließen.
DAs löst einerseits den Impuls bei mir aus, dass ich denke " OK, das schnallst du nicht, halt die Klappe" aber andereseits ist in mir auch etwas das sagt, irgendwie stimmt da was nicht.

Ich weiß nicht genau woran es liegt.


Ist es nicht so, dass die Logik einem eigentlich das "längshangeln" ermöglichst, an den Dingen die für mich bis jetzt erfahrbar oder beweisebar waren, damit ich eventuell daraus auf Dinge schließen kann, die ich noch nicht beweisen konnte, aber die als logische Konsequenz daraus hervorgehen müßten?
Um so mehr "Werte" ich als Antwortmöglichkeiten nutze, umso mehr verzweigt sich der Baum der Möglichkeiten ?
Ist das ein Vorteil? Oder enthebt es dem Frager einfach der Verantwortung, seine Fragen auch vernüftig zu stellen?



Ohhhh ne .... da krieg ich schon wieder einen Knoten im Hirn.

Entschuldigt mich, vielleicht bin ich einfach nicht studiert / qualifiziert genug dieses Thema zu schnallen.
Geht es nicht auch ohne Matheformeln?

Namaste
Lilly

 

[Trestone]

Hallo,

ich versuche meine Idee einmal weithehend ohne Formeln zu beschreiben:

Ich nehme an, dass es in der Welt (des logischen Denkens) noch eine zusätzliche Dimension gibt, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann (meine Metastufen).
Man kann sich auch vorstellen, das diese Stufen jeweils eine Art Spiegelbilder sind.
Für unsere gewöhnlichen Alltagsgegenstände und Eigenschaften sind diese Spiegelbilder in allen Stufen gleich.
Daher nehmen wir sie auch nicht wahr und beschränken uns auf die uns gewohnten 3+1 Dimensionen.
Bei philosophischen und mathematischen Betrachtungen stoßen wir aber auf Denkgegenstände (wie das Unendliche, sich selbst verneinende Aussagen, ...) die in den Stufen dieser Zusatzdimension unterschiedliche Eigenschaften haben.
Bei Beschränkung auf unsere bekannten Dimensionen nehmen wir das als logische Widersprüche wahr und verbieten meist in unseren Definitionen die Konstruktion solcher Gebilde.

Nehmen wir nun diese neue Dimension ernst, so ist die Lage ähnlich wie für ein hypothetisches Wesen, das in einer (bisher) veränderungsarmen Welt lebt und nun die Zeit als neue Dimension entdeckt:
Hatten vorher alle Dinge eindeutige Eigenschaften (wie tot oder lebendig) kann jetzt etwas zu einer Zeitstufe lebendig und zu einer anderen tot sein.

Meine Behauptung ist nun analog, dass es geistige Dinge gibt, deren (logische) Eigenschaften von der Metastufe abhängen - und dies sind gerade die problematischen Begriffe wie "Unendlichkeit" , "mathematische Menge" usw.
Dabei ist die widerspruchsfreie Koexistenz von verschiedenen Eigenschaften in verschiedenen Stufen gerade der Witz der Sache.

Genauso wie die (hypothetische) Entdeckung der Zeit sollte uns diese neue Dimension eine verfeinerte Wahrnehmung und Beschreibung unserer Welt ermöglichen - die bisherigen Beschreibungsversuche verhielten sich dazu ähnlich wie die Deutungen der Schatten in Platons Höhlengleichnis, solange die "wahren Ideen" nicht bekannt sind.

Auch wenn ich selbst das ganze noch nicht als den großen Wurf sehe,
denke ich doch, dass der hypothetische Umgang damit lohnt (Max Planck lässt grüßen ...).
Außer Mathematik und Logik könnte das auch Philosophie, Physik und Informatik befruchten.

Gruß
Trestone

 

[Aphorismus]

Ich kann mir gut vorstellen, dass ein solches (oder ähnliches) Konstrukt zum Beispiel bei der Beschreibung von Vorgängen in der Quantenphysik sehr hilfreich sein kann. Allerdings scheint mir die Meta-Logik den entscheidenden Fehler zu haben, dass Aussagen über Vorgänge, deren Wahrheitswert deutlich benennbar ist, durch sie verwässert werden. So können die Sätze "Er ist tot!" und "Er ist lebendig!" zwar beide zu verschiedenen Zeiten wahr sein, aber niemals gleichzeitig. Eine Logik, die zulassen würde, beide Sätze zur gleichen Zeit "wahr" zu nennen, erlaubt mehr Widersprüche als sie jemals in anderen Bereichen auflösen könnte.

 

[Trestone]

Für unsere gewöhnlichen Alltagsgegenstände und Eigenschaften sind diese Spiegelbilder in allen Stufen gleich.
Daher nehmen wir sie auch nicht wahr und beschränken uns auf die uns gewohnten 3+1 Dimensionen.
Bei philosophischen und mathematischen Betrachtungen stoßen wir aber auf Denkgegenstände (wie das Unendliche, sich selbst verneinende Aussagen, ...) die in den Stufen dieser Zusatzdimension unterschiedliche Eigenschaften haben.
...
Meine Behauptung ist nun analog, dass es geistige Dinge gibt, deren (logische) Eigenschaften von der Metastufe abhängen - und dies sind gerade die problematischen Begriffe wie "Unendlichkeit" , "mathematische Menge" usw.

Die Meta-Logik will den klassischen Wahrheitsbegriff gar nicht ganz beseitigen:
Für Sinnes-"Wahrnehmungen" können wir ohne weiteres die Wahrnehmung "Diese Wiese ist grün" als in Stufe 1 wahr setzen und dann für alle Stufen t+1 den gleichen Wahrheitswert wie in Stufe t (bzw. 1).

Dann haben wir eine in allen Stufen ab 1 wahre Aussage, das gleicht doch ziemlich gut einer "absolut" wahren Aussage.

Lediglich bei "Grenzbegriffen" müßten wir nach Stufen differenzieren.
(So wie man in der Physik erst nahe bei der Lichtgeschwindigkeit relativistisch rechnen muss.)

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Ich kenne das Russellsche Paradoxon nicht und irgendwie will es sich mir auch nicht erschließen.
...
Um so mehr "Werte" ich als Antwortmöglichkeiten nutze, umso mehr verzweigt sich der Baum der Möglichkeiten ?
Ist das ein Vorteil? Oder enthebt es dem Frager einfach der Verantwortung, seine Fragen auch vernüftig zu stellen?
...
Geht es nicht auch ohne Matheformeln?

Zum Russellschen Paradoxon gibt es eine berühmte mathefreie Umschreibung, das Barbier-Paradoxon:
"Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer von Sevilla, die sich nicht selbst rasieren - und nur diese."
(Zusatz: Er ist ein Mann von Sevilla und benötigt selbst eine Rasur.)

Die spannende Frage lautet nun: Wenn obige Regel (inkl. Zusatz) gilt, was ist dann mit diesem Barbier selbst:
Rasiert er sich selbst - oder rasiert er sich nicht selbst?

Analysieren wir das Ganze zunächst mit klassischer Logik:

Angenommen, der Barbier rasiert sich nicht selbst.
Dann folgt aus dem Halbsatz "rasiert ... alle, die sich nicht selbst rasieren", dass er sich doch selbst rasiert.
D.h. wenn er sich nicht rasiert, rasiert er sich zugleich - ein logischer Widerspruch.

Bleibt also nur die Gegenannahme: Der Barbier rasiert sich selbst.
Wegen dem Halbsatz "und nur diese" und wegen "rasiert ... alle, die sich nicht selbst rasieren" darf er sich dann nicht selbst rasieren.
Also rasiert er sich zugleich nicht selbst - wieder ein logischer Widerspruch.

Also verwirft man klassisch die obige Barbierdefinition (bzw. -Regel) als logisch widersprüchlich und nicht sinnvoll.
Ein leichtes Unbehagen aber bleibt ....

Jetzt das ganze mit Metalogik:
Da wir klassisch auf Logikprobleme gestoßen sind, wenden wir im Falle des Barbiers die Stufenunterscheidung an.

Für problematische Eigenschaften gilt:
Zu einer Eigenschaft aus Stufe t z.B. eines Menschen ist erst in Stufe t+1 bekannt bzw. entscheidbar, ob sie vorliegt oder nicht.
In unterschiedlichen Stufen kann diese Eigenschaft des Menschen unterschiedliche Ausprägungen haben, also vorliegen oder nicht vorliegen.

Jetzt die Barbierdefinition in Stufensprache:
"Für alle Stufen t gilt: Der Barbier von Sevilla rasiert zur Stufe t+1 alle Männer von Sevilla, die sich zur Stufe t nicht selbst rasieren - und nur diese."
(Zusatz: Er ist ein Mann von Sevilla und benötigt zur Stufe t selbst eine Rasur.)
Rasiert er sich selbst zur Stufe t+1 - oder rasiert er sich nicht selbst zu t+1?

Unsere Eigenschaft ist also "B rasiert M" bzw. "M rasiert M", die wir mit Stufen versehen haben.
Zur Auflösung benötigen wir noch eine Eigenschaft der Stufenlogik:
In Stufe 0 sind alle Aussagen wahr (und fasch zugleich).

Betrachten wir t=0 in der Barbierdefinition:

Für Stufe 0 gilt: Der Barbier von Sevilla rasiert zur Stufe 0+1 alle Männer von Sevilla, die sich zur Stufe 0 nicht selbst rasieren.

Es ist immer wahr: Jeder Mann von Sevilla (insbesondere auch der Barbier) rasiert sich zur Stufe 0 nicht selbst. (Denn in Stufe 0 ist alles wahr und falsch).
Der Barbier rasiert zur Stufe 1 also alle Männer von Sevilla.
Insbesondere rasiert der Barbier sich selbst.
(Folge: Er ist in Stufe 1 der einzige, der sich selbst rasiert.)

Für t=1 (und größere Stufen) sind Aussagen wie gewohnt stets entweder wahr oder falsch:
Der Barbier von Sevilla rasiert zur Stufe 1+1 alle Männer von Sevilla, die sich zur Stufe 1 nicht selbst rasieren.
Wie oben hergeleitet rasiert er also in Stufe 2 alle Männer außer sich selbst.
(Folge: In Stufe 2 gibt es keinen, der sich selbst rasiert, insbesonder rasiert der Barbier sich nicht selbst.)

Der Barbier von Sevilla rasiert zur Stufe 2+1 alle Männer von Sevilla, die sich zur Stufe 2 nicht selbst rasieren.
In Stufe 3 rasiert der Barbier wie in Stufe 1 wieder alle Männer.
(also auch wieder sich selbst).

Für gerade Stufen t rasiert sich also unser Barbier nicht selbst,
für ungerade Stufen t rasiert er sich selbst.

Hier sieht man nun deutlich, weshalb klassische Logik das nicht abbilden kann: hier spielt sich ja alles in einer Stufe ab.
In der Metalogik haben wir einfach mehr "Möglichkeiten".

Spannend ist nun die Frage, wie wir das Stufenergebnis interpretieren können: Ist es ein rein formales Ergebnis ohne jeden Realitätsbezug?
Denn wie sollen wir uns einen realen Barbier vorstellen, der sich zugleich in der einen Stufe selbst rasiert und in der anderen rasieren lässt?

Aber wir sollten nicht vorschnell den Realitätsbezug leugnen:
Auch die komplexen Zahlen aus der Mathematik, die uns die Lösung für x*x=-1 liefern, sind nicht unmittelbar anschaulich (wenn man die Vektordarstellung nicht kennt). Trotzdem sind sie wichtige Hilfsmittel gerade auch in der Physik zur Lösung reeller Probleme.

Vieleicht ist der Barbier ein weniger geeignetes Feld für die Stufentheorie,
denn bei realen Gegenständen und Eigenschaften tendiere ich dazu, sie stufenkonstant zu definieren, d.h. die Eigenschaft aus Stufe 1 gilt für alle Stufen.
Bei geistigen Begriffen (aus Logik, Mathematik, Philosophie) sehe ich die Lage anders, hier könnte die Stufentheorie ihr eigentliches Feld haben.
(Aber immerhin erleichtert sie die Analyse von Paradoxien und Antinomien auch in "realen" Beispielen.)

Gruß
Trestone