unendlich

[antimagnet]

also, gleich vorneweg: ich bin kein mathematiker und kenne auch den mathematischen beweis für die unendlichkeit (falls es sowas gibt) nicht.
(ich bin mir aber ziemlich sicher, dass mein verständnis von der unendlichkeit dem mathematischen verständnis sehr nahe kommt...)

du beschreibst einfach nur, wie jemand unendlich lange zählt. das geht natürlich nicht.

ich meine aber: nenne mir eine konkrete zahl. egal, wie hoch. aber nenne mir nur eine. ich nenne dir dann eine, die höher ist.

dieses spiel ist spielbar. das aber unbegrenzt oft - zumindest denkbar.
menschen haben eine begrenzte lebensdauer, spätestens nach 130 jahren dürfte mit dem spiel schluss sein
es heißt ja auch: für jedes x...

wo ist also bei einem spiel die unendlichkeit?

:gruebel:

 

[holgercp]

ich meine aber: nenne mir eine konkrete zahl. egal, wie hoch. aber nenne mir nur eine. ich nenne dir dann eine, die höher ist.

:gruebel:

ja, aber wie bereits gedacht: wenn ich dir eine konkrete Zahl sage, kannst du mir eine höhere sagen, das beweist aber nur eines: nämlich dass es eine höhere Zahl gibt, als die die ich gedacht habe, nicht dass es unendlich gibt. Ich glaube auch nicht, dass irgendein Mathematiker in diesem Sinne Unendlichkeit bewiesen hat oder auch nur beweisen möchte. Ich vermute aber doch, dass es irgendwo so etwas wie eine Setzung für "unendlich" gibt. Und da muss dann stehen

unendlich = ?

im Regelfall finde ich rechts immer n n+1 und irgendwelche " ... "
aber das impliziert alles immer schon Iterationen oder Rekursionen, die zum Nachvollziehen ein Konzept von Unendlichkeit voraussetzen.

Ich möchte auch gar nicht unbedingt die Frage verfolgen, ob Unendlichkeit denkbar ist. Ich würde zwar aus eigener Erfahrung spontan "nein" sagen, aber festlegen möchte ich mich auch nicht.

Meine Frage ist mehr: Ist eine Definition für Unendlichkeit möglich, ist also Unendlichkeit sprachlich formalisierbar oder wie auch immer.

Liebe Grüße

Holger

 

[Simple Man]

Ist eine Definition für Unendlichkeit möglich, ist also Unendlichkeit sprachlich formalisierbar oder wie auch immer.

Tja ... kann man etwas was "unendlich" ist mit einer - in meinen Augen - begrenzten Sprache ausdrücken?
Wie war das:
"Was sich überhaupt sagen läßt, läßt sich klar sagen; und wovon man nicht reden kann, darüber muss man schweigen."

Ich möchte auch gar nicht unbedingt die Frage verfolgen, ob Unendlichkeit denkbar ist.

:gruebel:
Kann man denn etwas "sprachlich formalisiert" ausdrücken, wenn man es nicht denken kann?

 

[holgercp]

:gruebel:
Kann man denn etwas "sprachlich formalisiert" ausdrücken wenn man es nicht denken kann?

durch die Aussage "dass ich die Frage nicht verfolgen möchte" negiere ich nicht die Möglichkeit der Existenz einer (geistigen) Entität "Bewusstsein von Unendlichkeit", ganz im Gegenteil, da ich die Möglichkeit wie angedeutet nicht außer Frage stelle, geht es mir primär darum, unter der Bedingung, dass diese Möglichkeit gegeben wäre, zu begründen wie eine solche Formalisierung möglich wäre - bzw. geleugnet werden kann.

Und nu Spass beiseite und prost!

 

[Simple Man]

Tja ... und ich denke, dass es eben nicht möglich ist sich die "Unendlichkeit" zu denken ...

Warum?

Nun, dass menschliche Denken funktioniert meiner Meinung nach über Vergleiche. Um vergleichen zu können benötigt man, in meinen Augen, Kategorien. Aber eben eine solche Kategorie beinhaltet ja bereits eine Begrenzung, oder? Und kann etwas was eine Grenze hat unendlich sein?

:gruebel:

 

[antimagnet]

Tja ... und ich denke, dass es eben nicht möglich ist sich die "Unendlichkeit" zu denken ...

Warum?

Nun, dass menschliche Denken funktioniert meiner Meinung nach über Vergleiche. Um vergleichen zu können benötigt man, in meinen Augen, Kategorien. Aber eben eine solche Kategorie beinhaltet ja bereits eine Begrenzung, oder? Und kann etwas was eine Grenze hat unendlich sein?

:gruebel:

wie viele kategorien gibt es denn deiner meinung nach, simple_man?

 

[Simple Man]

Unbegrenzt viele ...

 

[Trestone]

Die folgende mathematische Definition zur Unendlichkeit stammt von Cantor:

"Definition: Eine Menge M heißt von unendlicher Mächtigkeit (unendlich),
wenn es eine echte Teilmenge U gibt, die gleichmächtig zu M ist.
Andernfalls heißt eine Menge endlich."

Unendlich ist also mathematisch gesehen sogar "einfacher" als endlich.

"Gleichmächtig" ist dabei wie folgt definiert:
"Definition: Zwei Mengen A und B heißen gleichmächtig, genau dann, wenn es eine bijektive Abbildung von A nach B gibt."

"Definition: Bijektive Abbildung:
Eine Abbildung von Menge A auf Menge B heißt Bijektion, genau dann, wenn es zu jedem Element b aus B genau ein Urbild a aus A gibt. (1 zu 1 Abbildung)"

Man kann so zeigen, dass die Menge der natürlichen Zahlen unendlich ist (steht in Bijektion z.B. mit den geraden natürlichen Zahlen).

Ein berühmter (aber umstrittener) Beweis von Cantor zeigt nun, dass keine Menge in Bijektion mit ihrer Potenzmenge (=Menge aller Teilmengen) stehen kann; diese also immer eine höhere Mächtigkeit haben muss.
Daher gibt es nach Cantor mathematisch eine unendliche Anzahl unterschiedlicher Unendlichkeiten.

Der Beweis wird indirekt über Widerspruch geführt. Dieses (logische) Prinzip lehnen die Konstruktivisten ab.
Und auch ich selbst experimentiere mit einer Logik mit eingeschränktem Widerspruchsbeweis, in der man wohl mit nur einer Unendlichkeit auskommt:
http://www.ask1.org/fortopic17402.html

Gruß
Trestone

 

[holgercp]

„Zwei Dinge sind unendlich: Das Universum und die menschliche Dummheit – Beim Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.“
(Albert Einstein)

"Definition: Eine Menge M heißt von unendlicher Mächtigkeit (unendlich), wenn es eine echte Teilmenge U gibt, die gleichmächtig zu M ist. Andernfalls heißt eine Menge endlich."

sry, versteh ich nicht

wie kann eine echte Teilmenge eine gleiche Mächtigkeit haben ohne Unendlichkeit vorauszusetzen? Wenn Cantor das voraussetzt muss es ja schon für abzählbar unendliche Mengen / Mannigfaltigkeiten gelten.
Wie gesagt, hab nicht viel Ahnung von Mathe.

Aber ich bitte dich mal kurz zu erklären wie das gedanklich begründet ist.

also eine echte Teilmenge einer endlichen Menge kann ja nie die gleiche Mächtigkeit wie diese haben, sonst wäre sie keine echte Teilmenge, oder?

ich bekomm zwar jetzt die Überlegung hin, dass das für unendliche Mengen nicht gelten könnte, aber nur wenn ich Überabzählbarkeit voraussetze.

Und Überabzählbarkeit begründet Cantor, wenn ich mich nicht ihre doch erst aus der Projektion unendlicher abzählbarer Mengen aufeinander, oder... *grübel*

Ich vermute ich mache da gedanklich einen ganz dummen Fehler

Danke im Voraus
Holger

 

[holgercp]

ah, ich glaub ich hab das Problem schon:
Cantor scheint davon auszugehen, dass der menschliche Geist
(z.B. beim Zählen) unbegrenzt ist.
Das ändert natürlich vieles. Aber dann kann ich natürlich auch Unendlichkeit rekursiv begründen, was Cantor natürlich nicht tut, weil
es ihn ja um die Begründung einer "sauberen" Mengenlehre geht.

Hab ich natürlich ein Problem mit.

holger

 

[antimagnet]

nochmal zu der rekursion:

die ist nicht im programm. das programm lautet:

10 print "nenn mir eine zahl n"
20 print n+1
30 end

das programm hat ein ende. aber du es unendlich oft spielen. mit jeder zahl, die dir einfällt, der rechner spuckt dir eine größere aus. diese unendlichkeit kriegst du nicht weg, fürchte ich.

 

[holo]

nochmal zu der rekursion:

die ist nicht im programm. das programm lautet:

10 print "nenn mir eine zahl n"
20 print n+1
30 end

das programm hat ein ende. aber du es unendlich oft spielen. mit jeder zahl, die dir einfällt, der rechner spuckt dir eine größere aus. diese unendlichkeit kriegst du nicht weg, fürchte ich.

Nee, glaube ich nicht.

Beispiel: (int i,i++)
Das Programm hätte ein Ende, wenn der Zählraum der Variable erreicht ist.
Trage ich die letzte mögliche Zahl ein, spuckt er keine größere Zahl aus.
Also darf das Programm kein Ende haben bzw. sorgt der Compiler dafür, dass am Anfang begonnen wird.
Oder nicht?

Gruß
Holo

 

[antimagnet]

du gehst doch nicht etwa von einem reellen computer aus?

 

[holgercp]

10 print "nenn mir eine zahl n"
20 print n+1
30 end

Beispiel: (int i,i++)
Das Programm hätte ein Ende, wenn der Zählraum der Variable erreicht ist.
Trage ich die letzte mögliche Zahl ein, spuckt er keine größere Zahl aus.
Also darf das Programm kein Ende haben bzw. sorgt der Compiler dafür, dass am Anfang begonnen wird.
Oder nicht?

Zum ersten Zitat (antimagnet):

Wie ich sagte: dieses Programm gibt mir nicht unendlich viele sondern - sofern man es ergänzt 1 bzw. 2 Zahlen aus - , ansonsten je nach Sprache vielleicht sogar eine Fehlermeldung. Um unendlich viele Zahlen zu erhalten muss ich es unendlich oft durch eine Schleife / Rekursion laufen lassen.

Zum zweiten Zitat (holo):

So kann man das Problem natürlich auch sehen. Wir bräuchten also einen Maxwell'schen Dämonen, der aber per defitionem schon "unendlich" ist.
Ein Computer ist das in jedem Fall nicht und auch kein Mensch.

 

[holgercp]

du gehst doch nicht etwa von einem reellen computer aus?

es geht nicht um reellen Computer oder nicht. Die Frage ist, ob ich Unendlichkeit voraussetze, und du scheinst von einem Computer auszugehen, der schon ersteinmal unendlich ist.

dann hieße die gleichung

unendlich = die menge der zahlen die ein unendlich laufender Algortihmus dder oben beschriebenen Art auswerfen würde.
Damit hast du aber unendlich schon wieder rechts vom Gleichheitszeichen, bzw. eine Zirkeldefinition.

Gruß Holger

 

[antimagnet]

Wie ich sagte: dieses Programm gibt mir nicht unendlich viele sondern - sofern man es ergänzt 1 bzw. 2 Zahlen aus - , ansonsten je nach Sprache vielleicht sogar eine Fehlermeldung. Um unendlich viele Zahlen zu erhalten muss ich es unendlich oft durch eine Schleife / Rekursion laufen lassen.

wieso willst du denn unendlich viele zahlen haben?

du kannst, unbegrenzt oft, zwei zahlen haben...


klar, könnte ich ne rekursion in das programm reinbauen:

30 goto 10

das muss man dann so lange spielen, bis man alle zahlen durch hat. viel spaß. mathematisch würde ich das mit "alle x" beschreiben.

aber es muss keine rekursion rein. es geht auch ohne - s.o. dann musst du das programm halt jedesmal neu starten. das bedeutet dann aber nicht "für alle x", sondern "für jedes beliebige x".

ich finde, das ist ein unterschied.

 

[holo]

du gehst doch nicht etwa von einem reellen computer aus?

Was heisst das schon, reeller Computer? Ist doch nur das Rechenwerk. Variableneigenschaften, Adressräume, Abbruchbedingungen oder buffer overflow - unterm Strich vom Menschen in seinem begrenzten Denken definiert. Ich schreibe bewusst begrenzt und nicht rationell und denke dabei an eine vollmundige Aussage eines mittlerweile prominenten und steinreichen Menschen, dass 64 kB Speicher ewig und drei Tage ausreichen würden.

Ein Computer ist das in jedem Fall nicht und auch kein Mensch.

Und damit ergänze ich meine Aussage indem ich meine, dass der Computer kein geeignetes Beispiel zu sein vermag.

Gruß
Holo, der für höhere Mathematik eigentlich zu blöde ist

 

[Simple Man]

@ Anti

Ja, aber setzt dein Programm, sofern man die Unendlichkeit damit erklären will, nicht schon Vorraus, dass es unendlich viele Zahlen gibt?

Ansonsten kannst du das Programm zwar unbegrenzt oft spielen, aber wer sagt, ob du nicht irgendwann mal wieder "von vorne" anfangen musst?

Unbegrenzt und Unendlich sind ja - in meinen Augen - nicht das gleiche ...

 

[antimagnet]

es geht nicht um reellen Computer oder nicht. Die Frage ist, ob ich Unendlichkeit voraussetze, und du scheinst von einem Computer auszugehen, der schon ersteinmal unendlich ist.

nein, ich gehe von einem aus, der beliebig große zahlen verabeiten kann. ein computer, der unendlich große zahlenmengen verarbeiten kann, kann es nicht geben, bzw. bräuchte er unendlich lange für das ergebnis. aber einen computer, der eine ganz konkrete, beliebig große zahl verarbeiten kann, den könnte es geben. zumindest theoretisch.

dann hieße die gleichung

unendlich = die menge der zahlen die ein unendlich laufender Algortihmus dder oben beschriebenen Art auswerfen würde.
Damit hast du aber unendlich schon wieder rechts vom Gleichheitszeichen, bzw. eine Zirkeldefinition.

ich halte ja "unendlich" eher für ne eigenschaft, für eine vorstellung, als für etwas, das vor ein gleichheitszeichen gehört. insofern kommt mir ein mathematischer beweis für unendlichkeit eher vor wie ein mathematischer beweis für zahlen. mein programm beschreibt unendlichkeit oder bietet eine definitionsmöglichkeit, aber keinen beweis.

ich halte ja jede definition per definition für ne tautologie (musste aber grad ergoogeln, dass es andere nicht so sehen) - aber ist nicht alles mit einem gleichheitszeichen in der mitte na logisch eine zirkeldefinition?

 

[holgercp]

natürlich kann ich das Programm unendlich oft starten, aber was bringt mir das, wenn ihc vorher kein Konzept von "unendlich" habe.

Ich glaube wir schreiben ein wenig aneinander vorbei:

wenn es so einfach wäre wie du schreibst könnte ich einfach sagen
unendlich = die anzahl der Male die ein undendlich lang lebender Hund der unendlich viel bier trinkt an einen unendlich widerstandsfähigen baum pinkelt
oder übersetzt: sag mir wie oft der baum an den Baum gepinkelt hat und ich sag die wieoft er nach dem nächsten mal drangepinkelt hat

aber das bringt uns irgendwie keinen Schritt weiter