Stufenlogik - eine denkbare Alternative? (nun vollständig)

[SimonSt]

Hallo Trestone,
Zu deiner Stufenlogik. Hast du die irgendwo noch formaler ausgearbeitet oder ist das hier die vorläufige Form? Ich denke, wenn man das formal ausarbeiten will sollte man die Prädikatenlogik erster Stufe als Grundlage nehmen und zeigen, wo man sie erweitert.
Hast du mal ein Buch über mathematische Logik gelesen, oder dir die Grundlagen anderweitig angeeignet? Die Mathematiker sind sehr zufrieden mit ihrer Prädikatenlogik erster Stufe. Die Lehrmeinung ist, dass sie ausreichend für die gesamte Mathematik ist. Es läßt sich alles in ihr formulieren, wenn man eine Mengenlehre als Grundlage nimmt. Der Umweg über die Mengenlehre beseitigt das Manko, dass man nur über Objekte erster Stufe quantifizieren kann, also nur All und Existenzquantoren über Objekte des Grunduniversums. Über eine Mengenlehre kann auch über Objekte höherer Stufe, wie Funktionen und Relationen zwischen Grundobjekten, quantifiziert werden, da diese ebenfalls als Mengen darstellbar sind und so Grundobjekte des Universums sind.
Es gibt Beweise, dass bestimmte "schöne" Eigenschaften wie die Vollständigkeit wegfallen, wenn man eine Logik zugrunde legt, die ausdrucksstärker ist als die Prädikatenlogik erster Stufe. So gesehen haben es alle Erweiterungen schwer. Es muss schon ein deutlicher Vorteil zu sehen sein.
Den Vorteil sähe ich bei dir, dass die Paradoxiebeweise nicht mehr führbar wären. Ich versuche schon seit langem diese Beweise logisch zu isolieren (wenn du willst kannst du dazu gerne eine mathematische Ausarbeitung dazu sehen, die nicht ganz zum Ziel geführt hat, aber einen interessanten Ansatz liefert). Man müsste genau zeigen, warum nur bestimmte Beweise betrofffen sind. Meine Erfahrung mit der Mathematikgemeinde ist, dass diese Beweise nicht mal als Beweise spezieller Art erkannt werden.
Andererseits bauen viele Begrifflichkeiten auf diese Beweise auf, z.B. höhere Unendlichkeiten. Aus Philosophischer Sicht interessiert mich wie der Aufbau der Mathematik dann aussähe.
Aber nun ein paar konkrete Fragen:
1. Soll das so sein, dass man über die Stufe t quantifizieren kann? Soll heißen, dass man Aussagen bilden kann, die Teile wie "für alle Stufen t gilt.." oder "Es existiert eine Stufe t, für die..". Oder sollen solche Aussagen nur in der Metatheorie deiner Logik möglich sein. (Ich habe solche Aussagen bei dir entdeckt und mich gefragt, ob sie zur Objektsprache gehören sollen.) Bei einer Logik kommt es entscheidend darauf an, über was man quantifizieren kann.
2. Und eine Frage, von jemandem, der sich noch keine Gedanken über eine Stufenlogik gemacht hat. Ist der "Lügner" überhaupt in der klassischen Logik formulierbar? Ich treffe auf Formulierungen des "Lügners" nur in Stufenlogiken (in deiner und in die von Blau). In der klassichen Logik gibt es meines Wissens das Wahrheitsprädikat gar nicht. Man kann also gar nicht über die Wahrheit von Aussagen sprechen. Ich frage mich also, wie die Einführung von Stufen und die Einführung des Wahrheitsprädikats zusammenhängen? Bedingt eine Einführung des Wahrheitsprädikats die Einführung von Stufen, da sonst Widersprüche auftreten würden? Und warum führt man das alles erst ein, wenn der "Lügner" in der klassischen Logik gar nicht formulierbar ist?

Grüße Simon

 

[Trestone]

Hallo Simon,

Die Darstellung in diesem thread ist im wesentlichen alles, was ich dazu habe.
(ich suche immer noch jemand, der das Ganze systematischer angeht und aufschreibt …).
Als Grundlage habe ich ein Mathematik- und Philosiophiestudium,
inzwischen über 20 Jahre zurückliegend.

Zu Deinen Fragen:
Zu 1) Ja, man kann in Stufenlogik über t quantifizieren (mit „für alle t“ und „existiert t“), dabei gilt Axiom A6:
(Meta-)Aussagen über t sind ab Stufe 1 stets w oder stets –w (also weitgehend wie klassische Aussagen).
Schreibweise: Bei Metaaussagen M steht W(M,1f) für W(M,1)=W(M,2)=W(M,3)=…
Die Metasprache ist in der Stufentheorie eingeschlossen.

2) Verstehe ich nicht, denn meiner Meinung nach gibt es Wahrheitsprädikate auch in der klassischen Aussagenlogik.
http://de.wikipedia.org/wiki/Aussagenlogik
„Diese Aussage ist nicht wahr“ wäre daher eine klassische Formulierung der Lügnerparodoxie, Stufen benötigt man hierzu nicht.

Gruß
Trestone

 

[SimonSt]

Hallo Trestone,
schöne Fächerkombination. Ich habe auch immer mit der Philosophie geliebäugelt aber nicht studiert. Ich habe dort lediglich Vorlesungen besucht, und eben auch die von Prof. Ulrich Blau, der ebenfalls eine Stufenlogik entwickelt hat, wobei er die Lügnerparadoxie auflösen wollte (formal aufgeschrieben in seinem Buch über Paradoxien).

Ich kann die Stufenlogik nicht für dich aufschreiben (Du schreibst du sucht jemanden dafür), ich kann aber mit dir systematisch die offenen Fragen durchgehen. Mein Interesse speist sich aus deiner Behauptung, dass die Paradoxiebeweise in deiner Stufenlogik nicht führbar sind. Für mich ist zwar immer noch die Frage offen, ob diese Beweise überhaupt alle in der Standardlogik (Prädikatenlogik erster Stufe) führbar sind, mich interessiert aber wie das in deiner Logik aussieht.
Ist deine Idee, dass bei Paradoxiebeweisen, die widersprüchlichen Aussagen einer anderen Stufe angehören und so kein Widerspruch auftritt, da es Widersprüche nur auf gleicher Stufe gibt? Ist es dann so, dass die Aussagen von gewöhnlichen Beweisen alle in einer Stufe bleiben, oder haben sie auch verschiedene Stufen aber in jeder Stufe den gleichen Wahrheitwert?

In der Wissenschaft braucht man nicht etwas entwickeln was schon ein anderer gemacht hat. Man müsste also gucken, wie der Blau seine Stufen definiert. Ich vermute mal er meint mit Stufen was anderes, da die angesprochenen Beweise nicht von seiner Logik angegriffen wird.

Zu deiner Aussage: "Die Metasprache ist in der Stufentheorie eingeschlossen"
Die Frage ist was von der Metatheorie hier eingeschlossen ist. Ich kenne Ansätze die eine Metatheorie einschließen, indem ein logisches Symbol eingeführt wird, die Anführung ("..."). Damit kann mann Objektsprachliche Ausdrücke anführen und über sie sprechen in der Objektsprache selbst. Dies führt dazu, dass eine Sprache über ihre eigene Syntax sprechen kann. Ich denke du meinst was anderes, dir geht es nur um die Semantik genauer den Wahrheitsgehalt. Wenn ich dich richtig verstehe ist eine Metasprache, die über den Wahrheitsgehalt Objektsprachlicher Ausdrücke spricht selbst in deiner Objektsprache formulierbar.

Wenn du Quantoren über die Stufe zulässt, warum ist dann der Lügner, der über alle Stufen spricht nicht zulässig? Anscheinend kann doch nicht ganz frei Quantifiziert werden. Ich erinnere mich, dass Blau mehr als unendlich viele Stufen verwendet, sondern die ganze Hierachie von Unendlichkeiten als Stufen. Der Lügner, der über alle Stufen spricht war bei ihm auch ein Problem, er war letztendlich, aber nicht mehr formal formilierbar, wenn er über die ganze Hierachie von unendlichen Stufen sprechen sollte.

Zum Wahheitsprädikat: Ich habe mir den Link angeschaut. Die Objektsprache der Aussagenlogik kennt nach meinem Verständnis kein solches Prädikat (nur Metasprachliche Aussagen behaupten, dass ein Satz wahr ist). Auch die Prädikatenlogik erster Stufe kennt keine solchen Prädikate. Hier werden nicht Aussagen mit Prädikaten versehen, sondern nur die Terme. Sie werden mit Relationen und Funktionen miteinander verknüpft. Meines erachtens wäre das auch ein schwerwiegendes Problem, wenn der Lügner in der Standardlogik formulierbar wäre. (Hier lasse ich mich aber gerne vom Gegenteil überzeugen).

Grüße Simon

 

[Trestone]

Hallo Simon,

mir ist klar, dass meine Darstellungen und Schreibweisen etwas sperrig und gewohnheitsbedürftig sind.
Aber gerade auch um solche Fragen wie Deine zu beantworten, habe ich sie aufgeschrieben.
Lässt man sich darauf ein, findet man hier im thread die (bzw. meine) Antworten
(z.B. bei Beispiel LL zu "Lügner in allen Stufen" oder zur Russell-Menge oder zum Cantorschen Diagonalbeweis).
Was möchtest Du dazu genauer wissen?

Gruß
Trestone

 

[SimonSt]

Hallo Trestone,

Hatte übers Wochendende kein Internet, deshalb etwas verspätet die Antwort.

Am meisten interessiert mich die Frage, inwieweit der “Lügner” (“Dieser Satz ist nicht wahr”) in der gewöhnlichen Logik formulierbar ist. Deiner Aussage zufolge wäre er in dieser formulierbar. Ich denke aber, dass wenn dies so wäre, die Mathematik ein Problem hätte und sie deshalb schon längst alles umdefiniert hätten, wie sie es bei dem auftreten der Russelmenge geschah. Meines erachtens ist der Lügner weder in der Aussagenlogik noch in der Prädikatenlogik formulierbar. Wobei ich mich gerne vom Gegenteil überzeugen lasse, von eigenen Irrtümern lernt man am meisten.

1. Aussagenlogik: In der Aussagenlogik gibt es Aussagen A, B, .... Die durch UND, ODER, NICHT verknüpft sind. Diesen Aussagen oder Kompensationen davon kann ein Wahheitswert zugeordnet werden. Dabei gibt es Aussagen, die immer wahr sind (Tautologien) und Aussagen, die immer falsch sind, bzw. nicht erfüllbar. Das zuordnen eines Wahrheitswerts zu einer Aussage geschieht in der Metasprache. In der Sprache der Aussagenlogik selbst gibt es nicht das Prädikat “folgende Aussage ist wahr:” oder W(A).

2. Ich betrachte zunächst die Prädikatenlogik erster Stufe: Im Unterschied zur Aussagenlogik bekommen die Aussagen hier eine Struktur. Eine Aussage enthält Relationen und Funktionen von Grundelementen, z.B. xRy, was heißen soll, dass x in Relation zu y steht. In “xRy” kommen x und y frei vor, d.h. es können beliebige Grundelemente eingesetzt werden. Zum Binden von Variablen, wie x und y existieren Quantoren. Mit ihnen sind Aussagen möglich wie “für ALLE x, EXISTIERT ein y, so dass xRy”, oder “für ALLE x, EXISTIERT ein y, so dass A(x,y)”, wobei A eine Eigenschaft ist, die x und y haben können. Die Logik wird deshalb Prädikatenlogik genannt, da Aussagen wie A(x) einem x eine Eigenschaft zukommen läßt, also dem x ein Prädikat zuordnet. Hierbei wird allerdings nur Grundelementen Prädikate zugeordnet, und nicht Aussagen selbst. D.h. das Prädikat, welches einer Aussage die Eigenschaft zuordnet wahr zu sein, existiert in der Sprache nicht.

3. Prädikatenlogik höherer Stufen: Hier könnte man Aussagen über Umwegen Eigenschaften zuordnen. Da hier über Teilmengen der Grundelemente quantifiziert werden kann, kann über Relationen (und Funktionen) quantifiziert werden, denn eine einstellige Relation über den Grundelementen ist einfach eine Teilmenge über den Grundelementen (die Elemente auf, die die Relation zutrifft). Genauso könnte man über eine Aussage A(x,y) quantifizieren, da A(x,y) eine zweistellige Relation über den Grundelementen ausdrückt. Allerdings sehe ich auch hier nicht, wie man ein Wahrheitsprädikat für Aussagen einführen kann.

In den hier beschriebenen Logiken wird Wahrheit über die Interpretation in einem Model definiert. In einem Model wird die Aussage entweder wahr oder falsch. Deshalb besitzen meines erachtens diese Logiken in der Objektsprache gar nicht die Mittel über die Wahrheit einer Aussage zu sprechen. Die einzige Möglichkeit, die es gibt, ist über Beweisbarkeit einer Aussage zu sprechen, wie es Gödel tut.

Wenn ich das richtig sehe, muss man, um den “Lügner” zu analysieren für ihn erstmal eine Logik einführen, in der er überhaupt formulierbar ist. Was meines erachtens nicht sinnlos ist, da der “Lügner” das Grundprinzip einer Paradoxie darstellt. Ich wunder mich nur, dass der Lügner anscheinend kein Problem darstellt, da er, wenn ich recht habe, gar nicht formulierbar ist, in den Logiken, die von der Mathematik benutzt werden. Andererseits z.B. die Russelparadoxie zu einer Umdefinierung der Mengenlehre geführt hat.

Grüße Simon

 

[Trestone]

Hallo Simon,

bei genauerem Nachlesen glaube ich nun auch, dass der "Lügner" erst in höheren Logikstufen bzw. mit Metasprache formulierbar ist.

Ich selbst habe mir meine benötigten Mittel (Logik, Metasprache) immer einfach selbst so formuliert und genommen,
wie ich sie benötigte um die von mir untersuchten Probleme (inkl."Lügner") zu beschreiben.
Daher war mir dieser Unterschied zur klassischen Logik in meiner Stufenlogik gar nicht so bewusst.

Wenn ich meinen eigenen Ansatz richtig verstehe,
kann man in der Stufenlogik über beliebige Wahrheitswerte, Selbsreferenzen und Metaebenen reden
und es gibt keine Unterscheidung von Metasprache und Objektsprache:

Die Antinomien und Paradoxien werden durch die Stufenregeln abgefangen.
Der Preis ist ein vollig anderer (gestufter) Wahrheitsbegriff ...

Gruß
Trestone

 

[SimonSt]

Hallo Trestone,
ich denke auch, dass der "Lügner" erst zum Problem wird, wenn eine Sprache ihre eigene Metatheorie enthält. Interessant dabei find ich den Punkt, dass die Gödelschen Sätze ebenfalls etwas von der Metatheorie einschließen. Dabei soll allerdings nur eine Selbstreferenz auf die eigene Syntax stattfinden und nicht wie beim Lügner auf die eigene Semantik, da der Gödelsche Satz nur über Beweisbarkeit spricht, die sytaktisch formulierbar ist. Allein um Gödel besser zu verstehen sind Logiken, die ihre eigene Metatheorie enthalten ein interessanter Untersuchungsgegenstand für mich.

Am meisten interessiert mich deine Aussage, dass z.B. Überabzählbarkeit nicht in deiner Logik beweisbar ist. Dies möchte ich gerne untersuchen. Dazu schaue ich mir erstmal an, wie der erwähnte Prof. Blau seine Stufen definiert und vergleiche sie mit deinen Definitionen hier.

Kann also erstmal etwas dauern bis Ergebnisse kommen. Vielleicht melde ich mich zwischendurch einmal.

Grüße Simon

 

[SimonSt]

Hallo,
ich habe den Vergleich von Trestone's und Blau's Stufenlogik erstmal nach hinten verschoben.

Zurzeit interessiere ich mich für die Philosophie des Bewußtseins vorallem des Selbstbewußtseins und dessen Bezug zur Logik. Ich denke, dass es tiefe Parallelen zwischen den Problemen der Selbstreferenz in der Logik und denen beim Bewußtsein gibt.

Ich untersuche zurzeit die Selbstmodell-Theorie von Thomas Metzinger. Ich denke ein Selbstmodell ist Vorraussetzung für Selbstbewußtsein, nur diskutiert er nicht die selbstreferentiellen Probleme, die auftauchen, wenn das Subjekt ein Modell von sich selbst erstellt. Auch sagt er nicht, wie dies technisch (in der KI) umgesetzt werden könnte. Ob dort z.B. ein symbolischer oder subsymbolischer Ansatz zugrunde gelegt werden soll. Und wie das Selbstmodell mit dem Modell der Welt zusammenhängen soll.

Hat jemand Lust über Metzinger's Selbstmodell zu diskutieren (vielleicht in einem anderem Thread)?

Viele Grüße
Simon

 

[Telepathetic]

Hat jemand Lust über Metzinger's Selbstmodell zu diskutieren (vielleicht in einem anderem Thread)?

Das Thema klingt sehr interessant und ich würde auf jeden Fall mitlesen.

 

[SimonSt]

Ich denek ich mache dann einen neuen Thread

Soweit ich weiß, ist Metzigers Ansatz, dass der Organismus ein internes Selbstmodell erzeugt, der fortgeschrittenste Ansatz in der Bewußtseinsforschung.
Wenn ich es zuende gelesen habe, fasse ich hier ein paar Sachen zusammen.
Er hat auch eine Kurzfassung von 20 Seiten geschrieben, die ich jetzt nicht zur Hand habe aber auch hier verlinke.

Sein Ansatz ist, dass der Organismus über ein Modell seiner Selbst über sich selbst und seiner Beziehung zur Umwelt nachdenken kann. Und so letztendlich Introspektion und Selbstbewußtsein möglich wird.

 

[Trestone]

Hallo,

Sieht man die Stufenlogik als ernsthafte Alternative zu gewöhnlicher Logik an,
so stellt sich die Frage, weshalb die dabei zusätzlich auftretende Dimension
(die Stufen, Betrachtungsebenen, …) bisher nicht aufgefallen ist?

Die einfachste Antwort wäre natürlich, weil es diese Dimension nicht gibt und die Stufenlogik nur ein theoretisches Konstrukt ist (von mir micht so bevorzugt …)

Dann könnte sein, dass wie bei den Zusatzdimensionen der Physik (Stringtheorie etc) diese Dimension in unserer Alltagswelt „sehr klein“ wäre,
d.h. es kaum beobachtbare Phänomene dazu gibt: Fast alle Alltagsaussagen sind in allen Stufen gleich (ggf. warum?).

Vielleicht gibt es auch eine Ausnahme für Wahrnehmungsurteile:
W (Dieser Gegenstand ist rot, t) = W (Dieser Gegenstand ist rot, t+1), d.h. diese sind (weitgehend) stufenunabhängig.
Denn im Alltag sind wir uns ja selten über Wahrnehmungsurteile uneinig (Ausnahme Necker-Kipp-Figuren).

Oder ein methodisches Problem: Um Stufenunterschiede wahrzunehmen, muss man Aussagen/Urteile von mindestens zwei Stufen aus betrachten.
Vielleicht tun wir so etwas nur selten (Bsp. Antinomien, Paradoxa).

Oder wir machen selten direkte Aussagen / Wahrnehmungen, in der Stufenlogik sind Metaaussagen aber stets stufenunabhängig.

Vielleicht haben wir Stufenunterschiede auch schon wahrgenommen, diese aber anders eingeordnet: Kandidat dafür ist unsere Zeitvorstellung/wahrnehmung, denn die kausale Ordnung Ursache – Wirkung lässt sich ja stufenlogisch interpretieren, klassisch fassen wir das auch als Zeitordnung auf.

Insgesamt überzeugen mich diese Erklärungsversuche noch nicht,
andererseits gab es in der Mathematik ja auch lange keine komplexen Zahlen und tauchte dort eine neue Dimension auch erst relativ spät auf.

Die besten Argumente für die Stufenlogik sind aus meiner Sicht die damit mögliche Mengenlehre und Mathematik
jenseits der Antinomien und jenseits des Gödelschen Unvollständigkeitssatzes.

Aber viele Anhänger scheine ich bisher noch nicht gefunden zu haben.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

vielleich müssen wir ja gar nicht so sehr nach Stufen bei „normalen“ Aussagen suchen?
Es könnte ja sein, dass sich die Stufendimension nur bei Aussagen mit Bezug auf das Unendliche
oder Selbstbezug (z.B. Lügneraussage, Russellmenge oder Bewußtsein) zeigt.
Bei der Untersuchung solcher Punkte habe ich sie ja auch gefunden.

So wie es ja lange „klassische Physik“ für Makrophänomenen und Quantenphysik für Mikrophänomene gab
(inzwischen Quantenphysik trotz Dekohärenz wohl mehr übergreifend zu sehen).

Auch beim „Grundlagenstreit“ in der Mathematik war ja die Idee aufgekommen (durch Konstruktivisten),
eine gewisse Logikmethodik (indirkter Beweis mit tertium non datur) beim Unendlichen nicht mehr zuzulassen.

Verzichtet man für „endliche“ Aussagen auf unterschiedliche Wahrheitswerte für unterschiedliche Stufen,
verliert die Stufenlogik natürlich etwas von ihrem exotischen Charme,
andererseits können wir im „endlichen“ und wohl auch „alltäglichen“ Bereich
logisch wohl weitgehend weiter wie gewohnt agieren.

Erst bei Selbstbezügen und Untersuchungen zum Unendlichen kommen dann die Stufen dazu
und ermöglichen neue Lösungen bisher paradoxer Sachverhalte.

Wie man aus solch einer „gemischten Logik“ eine Arithmetik baut, habe ich mir noch nicht überlegt,
spannend wäre, ob hier weiter die Nichtirrarionalität von Wurzel 2 und die Nichteindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gelten
und die Ungültigkeit von Gödels Unvollständigkeitssatz.
Für die Mengenlehre würde sich wohl wenig zur Stufenmengenlehre ändern, d.h. es gäbe weiter Russelmenge, Menge aller Mengen
und nur eine Art von Unendlichkeit.

Formal ließe sich der „normale“ bereich in der Stufenlogik leicht einfangen,
denn für „normale“ Aussagen wären die Wahrheitswerte aller Stufen größer 0 jeweils gleich (wie bei Metaaussagen).

Da „Selbstbezug“ undf „Unendlich“ vermutlich nch nicht alle „echten“ Stufenlogik-bereiche abdecken,
müsste die Grenze jeweils noch angepasst/erweitert werden.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

hier ein Versuch, den Ansatz der Stufenlogik möglichst ohne Formeln zu veranschaulichen:

Ausgangspunkt ist die aktuelle Physik, speziell Teile der Quantentheorie.
Dort hat ein Quantenobjekt (z.B. ein Atom) nicht permanent Eigenschaften,
sondern nimmt diese erst bei einer Messung an (konkretisiert diese, Dekohärenz).

Ich habe diese Vorstellung nun einfach auf Aussagen und die Logik übertragen:
Aussagen haben nicht permanent („an sich“) die Eigenschaft, „wahr“ oder „falsch“ zu sein,
sondern nehmen einen konkreten Wert erst bei „Messung“ oder „Bestimmung“ des Wahrheitswertes an.

Wenn man in Betracht zieht, dass sich nach allgemeine Vorstellung die „Dinge“ bzw. die „Wahrnehmungen der Dinge“ „logisch“ verhalten,
ist diese Analogie eigentlich nahe liegend.

Während in der Physik Raum und Zeit als Rahmen der Messungen mehr oder weniger vorgegeben sind,
musste ich für die Logik einen eigenen Bezugsrahmen finden.
Hier ist die Analogie wohl schon etwas weniger nahe liegend.

Ich wählte hier die „Stufen“ 0,1,2,3, … in Analogie zu diskreten Zeitpunkten, zur Kausalitätsordnung und zu Stufen von Metaebenen.
Die Stufen sind hierarchisch von unten nach oben geordnet, d.h. insbesondere, dass Informationen die in Stufe t verfügbar sind
auch in Stufe t+1 nutzbar sind, aber nicht umgekehrt.
(So wie wir etwas über die Vergangenheit in der Zukunft wissen können, aber wohl nicht umgekehrt).

Diese Grundvorstellung von „Wert erst bei Messung“ und „Messung je Stufe“ führt nun dazu,
dass wir Aussagen anders als bisher gewohnt nicht nur einen Wahrheitswert zuordnen können, sondern in jeder Stufe ggf. einen anderen Wert.

Aus logischer Sicht gibt es damit viel mehr verschiedene Aussagen (sogar unendlich viele),
während es vorher im wesentlichen nur zwei („wahre Aussage“ und „falsche Aussage“) waren.

Da wir mit unendlich vielen Stufen nur schwer zurecht kommen, kann man sich auf Aussagen beschränken,
deren Wahrheitswerte endlich definiert sind.
Z.B. kann man induktiv bzw. rekursiv festlegen, wie der Wert in Stufe t+1 von Werten in Stufe t abhängt.

Aus Symmetriegründen wählte ich noch eine allgemeine Startbedingung:
In Stufe 0 sind alle Aussagen unbestimmt
(denn weder für „wahr“ noch für „falsch“ gibt es gute Gründe).


Interessanterweise lassen sich mit dieser Stufenlogik Aussagen über das Unendliche und selbstbezügliche Aussagen
(„Diese Aussage ist nicht wahr“) leichter behandeln als mit klassischer Logik.

Genauere Formeln sind in früheren Beiträgen zu diesem thread aufgeführt.

Viele Details habe ich selbst noch nicht ganz verstanden (z.B. zu Primzahlzerlegung),
v.a die Anwendung der Stufenlogik auf philosophische Probleme finde ich reizvoll und würde sie gerne diskutieren.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Schlechte Nachricht für alle Leser, denen die Stufenlogik bisher schon zu kompliziert war:

Leider bin ich im Moment der Meinung, dass ich die vereinfachende Metaregel (Aussagen über Stufen sind in allen Stufen>=1 gleich) wieder wegnehmen muss
und stattdessen den Stufenansatz („Man kann von einer Stufe aus nur nach unten sehen, d.h. Werte in Stufe t und t+1 sind in Stufe t unbekannt) konsequenter durchhalten muss.

Das macht das Ganze aber deutlich komplizierter, denn nun benötige ich den Wahrheitswert u in allen Stufen,
und um die Gleichheit von Aussagen bewerten zu können muss ich wohl eine Metabeschreibung (mit endlichen Zyklen) einführen.

Aber warum einfach, wenn es auch kompliziert geht …

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

in der Stufenlogik gibt es noch eine Inkonsequenz,
d.h. eine Abweichung von einer konsequenten Ausrichtung auf Stufen:

Für Meataussagen, d.h. Aussagen über Stufen hatte ich gefordert, dass sie für alle Stufen t >= 1 konstant und gleich sein sollten.

Hintergrund ist, dass z.B. für Aussagen über alle Stufen anders nur schwer ein Wert festgelegt werden kann.
Ich habe mich inzwischen aber entschlossen, doch den konsequenteren (wenn auch komplizierteren) Weg zu verfolgen.

Denn konstante Metaaussagen haben den Effekt, dass die Stufenhierarchie durchbrochen werden könnte.
Z.B. W(W(A,t)=w,1)=w ließe den Schluß in Stufe 1 zu, dass (W,A,t)=w gilt, auch für t>1.

Nun lasse ich die beiden Stufengrundaxiome konsequenter gelten:

A1) Aussagen haben Wahrheitswerte nur in Kombination mit einer Stufe t=0,1,2,…

A2) Die Stufen sind hierarchisch geordnet, d.h. Wahrheitswerte können über Wahrheitswerte niedrigerer Stufen definiert werden,
umgekehrt ist in niedrigen oder gleich hohen Stufen nichts über Wahrheitswerte höherer Stufen bekannt.

Erste Folge: W(W(A,t)=w,t)=u; W(W(A,t)=w,d)=u für d<=t
Wir benötigen jetzt den Wert „u“ (undefiniert/unbekannt) nicht nur in Stufe 0 sondern in allen Stufen.
(Aber umgekehrt hängt W(A,0)=u nun nicht mehr so in der Luft, sondern ist eine Art Spezialfall von W(W(A,t)=w,d)=u für d<=t für d=0)

Zweite Folge: Die Gleichheit von Stufenaussagen ist nun schwieriger zu bestimmen:
1. Versuch: W(A=B,d+1) := W ( Für alle t: W(A,t)=W(B,t) , d+1)
Nach A2 gilt: W( Für alle t: W(A,t)=W(B,t) , d) = W ( Für alle t<=d: W(A,t)=W(B,t) , d+1) und W (Für alle t>d: W(A,t)=W(B,t) , d+1) =
W ( Für alle t<=d: W(A,t)=W(B,t) , d+1) und u.
Also W (A=B, d+1) = u falls A=B und W(A=B,d+1)=-w falls W(A,t0)-=W(B,t0) für t0<d+1.
Die Gleichheit ließe sich so nur widerlegen und nicht positiv zeigen.

2 Versuch: Hier kann man noch einen zweiten Weg versuchen:
Stufenaussagen müssen ja endlich definiert sein, um brauchbar zu sein.
Typischerweise werden sie rekusiv für Stufe t+1 aus Werten für Stufe t bestimmt.
Daher kann man sich auf Stufenaussagen beschränken, deren Werteverlauf mit den Stufen endlich periodisch ist.
Somit sind dann positive Aussagen über alle Stufen möglich, wenn man die Periode k (und ggf. den Vorlauf v) vollständig kennt.
Zwei Aussagen sind dann gleich (in Stufe v+k+1), wenn sie gleichen Vorlauf und gleiche Periode in den Stufen haben.

Zur Gleichheit von zwei Aussagen erhalten wir auch hier keine stufenunabhängige Aussage, sondern ggf. erst ab v+k+1 einen konstanten Wert.

A2) schränkt unsere Informationen auf den Blickwinkel von Stufe t+1 nach unten ein, d.h. Aussagen über gleiche und höhere Stufen sind verwehrt. Allerdings sind die Stufen nun so konsequent als Perspektiven und Informationshorizont definiert.
Auch die Definition von Arithmetik ist nun wohl etwas komplizierter, denn in die Nachfolgerdefinition fließt üblicherweise die Gleichheit (von Mengen) ein.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

zum Geist-Körperproblem gibt es das Bieri-Trilemma (zitiert nach Wikipedia):
S1: Mentale Phänomene sind nichtphysikalische Phänomene.
S2: Mentale Phänomene sind im Bereich physikalischer Phänomene kausal wirksam.
S3: Der Bereich physikalischer Phänomene ist kausal geschlossen.
Alle drei Aussagen sind für sich plausibel, können klassisch logisch aber nicht alle drei wahr sein.

Hieran lässt sich die Stufenlogik gut erproben:
Nach Stufenlogik sind die Wahrheitswerte der Aussagen S1, S2, S3 jeweils von der (logischen Stufe) abhängig.
Nehmen wir nun an, dass S3 nur für „kleine“ Stufen wahr ist (z.B. t < 1 000 000 000 000) und S2 nur für „große“ Stufen (z.B. t >= 1 000 000 000 000).
Dann wären S2 und S3 nicht mehr widersprüchlich.

Zu erklären bleibt noch, warum wir jeweils den Wahrheitswert für unterschiedliche Stufenbereiche bei S2 und S3 wahrnehmen.
Eine mögliche Erklärung könnte „Komplexität“ sein:
Je komplexer ein Sachverhalt (z.B. Länge zugrunde liegender Kausalketten), desto höher die Stufe bei der Wahrnehmung.
„Mentale Phänomene“ treten wohl erst im Umfeld von Gehirnen und komplexer Strukturen auf, könnten also mit hohen Stufen verbunden sein.

Physikalische Experimente werden umgekehrt meist mit möglichst klaren Strukturen und in überschaubarem Umfeld durchgeführt, könnten also mit niedrigen Stufen verbunden sein.

Aus Sicht einer niedrigen Stufe haben höhere keinen Einfluss, was die Abwesenheit von Geist-Einflüssen bei physikalischen Experimenten mit niedriger Stufe erklären würde (=S3).

Dass S2 erst für hohe Stufen wirksam ist könnte man damit erklären, dass ein (komplexes) Gehirn zur Vermittlung nötig ist.

Die Vermischung logischer Stufen mit Wahrnehmungs- und Komplexitätsstufen ist natürlich nicht sehr überzeugend,
aber das Ganze zeigt, wie mit Stufenlogik neues Licht auf alte Probleme geworfen werden kann.

Gruß
Trestone

 

[SimonSt]

Eigener Logik/Bewußtseins Thread von mir

Hallo an Trestone und alle anderen,
vor einem halben Jahr habe ich diesen Thread gefunden und war positiv überrascht, dass sich jemand ähnliche Gedanken bezüglich der Logik gemacht hat.
Ich habe meine Gedanken bezüglich der Logik einfach dazu gemischt. Jetzt gibt es einen eigenen Thread in dem ich mein Vorhaben erläutere. Die Gedanken haben mittlerweile sehr konkretere Form angenommen.

Viele Grüße
Simon

 

[Trestone]

Hallo,

eine besondere Herausforderung bei neuen Logiken (wie der Stufenlogik) sind Metaaussagen, also Aussagen über Aussagen.

Für die Formulierung der Theorie sind dabei v.a. „All-Aussagen“ und „Existenz-Aussagen“ wichtig.

Bei konsequenter Anwendung des Stufenprinzips müsste man auch für diese Aussagen jeweils eine Stufe angeben, um sie wahrheitswertfähig zu machen.

Bei Aussagen über alle Stufen gerät man dabei in das Hierarchieproblem:
Über höhere Stufen ist ja jeweils nichts bekannt, somit wären diese Aussagen alle unbestimmt.

Für eine feste Aussage A lässt sich das noch reparieren:
Wir fordern, dass endlich viele Stufen t = 0,1,2,.., t0 für die Definition von W(A,d+1) ausreichen sollen,
d.h. sich die Werte der Aussage A mittels Werten von Aussagen aus Stufen kleiner gleich t0 ausdrücken lassen.
Damit hängt A faktisch nur von den Stufen kleiner gleich t0 ab und Aussagen über „alle t“ bzw über „es existiert t“ bezüglich A
lassen sich mit der Wahl von t := t0+1 beantworten.
Wir sagen A hat den „Grad t0+1“.

Für solche A kann man sogar einen t-Grenzwert definieren:
Lim (t->unendl.) W(A,t) := w falls t1 existiert mit W(A,d)=w für d>t1
Lim (t->unendl.) W(A,t) := f falls t1 existiert mit W(A,d)=f für d>t1
Lim (t->unendl.) W(A,t) := u sonst.

Nun betrachten wir die Gleichheit von Aussagen:
W(A=B, t) = w :<-> für alle d gilt: W ( W(A,d) = W(B,d), t ) = w.

Falls A und B nicht endlich bzgl t (d.h.mit endlichem Grad) wie oben definiert sind, klappt das nicht:,
denn von t aus hat W(A,d)=W(B,d) für d>=t den Wert u.

Randnotiz: Für t<Grad(A) gilt W(A=A, t) = u, d.h die Idendität gilt nicht in allen Stufen,
sondern erst für „hohe“ t.

Daher betrachten wir bei Gleichheit einen Grenzwert::

Lim (t->unendl.) W(A=B,t) = w :<-> Es existiert t1 mit W(A=B,d)= w für alle d>t1.


Bei Aussagen über „alle A“ hilft der Trick mit dem Grad aber nicht, da t0 mit A beliebig wachsen kann.

Hier fand ich keine andere Lösung, als den „Stufenabbruch“ (denn unendliche Stufen wollte ich unbedingt vermeiden …):

M1: Metaaussagen über alle Ausssagen bzw. Stufen (bzw zu Aussagen ohne endlichen Grad) sind ab Stufe 1 konstant.

(Anmerkung: Die meisten meiner Axiome sind von dieser Form)

Ob die Theorie damit konsistent bleibt, muss sich im Gebrauch (z.B. Übertragung der Peano-Axiome) zeigen.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

inzwischen behandle ich in der Stufenlogik Probleme, die es ohne Stufenlogik gar nicht gibt …

Z.B. die (Hierarchie-)Grundregel:

A7: Stufen sind in sich und nach oben "blind":
W ( W(A,t)=v, d ) = u für t >=d und beliebiges v = u oder w oder -w.
D.h. Aussagen über Wahrheitswerte in gleicher oder höherer Stufe sind stets unbestimmt.

Damit wären Aussagen über alle Aussagen oder über alle Stufen meist unbestimmt.

Als (formalen) Trick um das zu umgehen hatte ich bestimmt,
dass solche All-Aussagen A stufenkonstant sind, d.h. in Stufe t=1,2,3, … genau einen der Werte
w (oder u) oder –w annehmen.
Damit ist die Gültigkeit von A7 eingeschränkt.

Die Stufen machen also auf der Metaebene (die ich gern integrieren würde) etwas Probleme (d.h. unschöne Ausnahmen nötig)
(die es naturgemäß ohne Stufen gar nicht gibt).

Doch da die Stufen andererseits ja auch die Lösung/Vereinfachung sonst kaum lösbarer Probleme ermöglichen
(nur eine Unendlichkeit, Menge aller Mengen), will ich auf sie trotzdem nicht verzichten.
Und vielleicht gibt es ja konsequentere Ansätze dazu als meine Versuche.

Es bleibt aber eine Gradwanderung.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

eine ansprechendere Lösung als die Stufenlogik findet sich im Märchen von der klugen Bauerstochter:

http://www.maerchenlexikon.de/at-lexikon/at875.htm

Leider lässt sich der Lösungsansatz wohl nicht so leicht in eine allgemeine Vorgehensweise übertragen.

Gruß
Trestone