Trestone
Großmeister
- Registriert
- 12. April 2002
- Beiträge
- 887
Nach vielen Ansätzen bin ich (wieder einmal) zum Lügnerparadox (L:= " Diese Aussage L ist nicht wahr") fündig geworden, u.a. am 1. April 2005 ...
Bisher habe ich meist selbst die Prrobleme und Widersprüche in meinen Ansätzen aufgedeckt, aber vielleicht hat ja jemand von Euch Spaß daran?
Ausgangspunkt war folgende Überlegung/Intuition:
Bei der klassisch-logischen Analyse der obigen Lügneraussage macht man folgende Überlegungen:
1) Wenn L nicht wahr ist, dann ist L gemäß Definition wahr.
In Zeichen: 1a) L -w ->(Def.) L w,
andererseits gilt 1b) L -w -> (stets) L -w.
1a + 1b -> L -w -> L w und L -w (dies ist ein Widerspruch!)
2) Analoges gilt wenn L wahr ist:
2a) L w ->(Def) L -w,
2b) L w ->(stets) L w,
also L w -> L w und L -w (Widerspruch!)
Beide möglichen Annahmen 1) und 2) führen auf einen Widerspruch,
daher wird L in klassischer Aussagenlogik meist nicht als zulässige Aussage angesehen.
Dies gefällt mir nicht, und ich versuch(t)e ausfindig zu machen, was an der Logik zu ändern wäre, um L als (fast) normale Aussage behandeln zu können.
Dabei fiel mir auf, dass erst unsere jeweilige Annahme eines Wahrheitswertes bei 1) und 2) zu einem Widerspruch führt.
Da mir die "Substanz von L" jeweils in 1a und 2a zu stecken schien, betrachtete ich 1b) und 2b) genauer.
Warum muss eine Aussage eigentlich stets wahr sein, wenn wir einmal angenommen haben, dass sie wahr wäre? Vielleicht verändern sich ja Wahrheitswerte beim Schlußfolgern aus Hypothesen?
Und offensichtlich geschieht dies bei L ja ...
Streicht man nun 1 a und 1 b aus der Aussagenlogik (als stillschweigendes Vorurteil ...), könnte man fürchten, dass nun das Chaos ausbricht. Dies scheint aber nicht zu sein, im Gegenteil lässt sich die klassische Logik als Teilgebiet retten und man bekommt noch Argumentationsräume (die Welt der bisherigen Paradoxien) hinzu, ähnlich wie bei den reellen und komplexen Zahlen.
Bisher habe ich nur die Grundregeln ausgearbeitet:
1) Jede Aussage ist (je Analyseschritt) entweder wahr oder falsch.
2) Der Wahrheitswert von Aussagen kann sich beim Schlussfolgern (nur?) wie folgt verändern:
2a) (Annahme) K wahr -> K wahr und (Annahme) K nicht wahr -> K nicht wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitstreu" oder "klassisch".
Kurz: Kw <-> Kw (und K-w <-> K -w)
2b) (Annahme) L wahr -> L nicht wahr und (Annahme) L nicht wahr -> L wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitsvariant" oder "paradox".
Kurz: Lw <-> L-w
Jetz müssten noch die üblichen Schlussregeln aufgestellt und angepasst werden, und unsere neue "paradoxe Logik" wäre fertig.
Bei nur klassischen Aussagen kann man dabei die klassischen Regeln weitergelten lassen.
Ein kleines Beispiel:
In klassischer Logik gilt: Aw -> Bw und Bw -> Cw dann Aw -> Cw.
Bei paradoxer Logik: Falls B klassisch ist, gilt Aw -> Bw <-> Bw -> Cw, also(?) Aw -> Cw.
Falls B aber paradox , gilt Aw -> C -w, zumindest wenn B-w -> C-w gilt.
Grundidee paradoxer Logik:
Der Wahrheitswert hypothetischer Aussagen kann sich beim logischen Schließen verändern, muss also "vor" dem Pfeil "->" nicht den gleichen Wert haben wie "danach" (an der Spitzenseite). Durch unser Folgern verändern wir die Wahrheitswerte, aber in berechenbarer Weise.
Dadurch sind viel mehr Aussagen zulässig, und die meisten klassischen Widerspruchsbeweise in Logik/Mengenlehre/Mathematik/Informatik können neu interpretiert werden.
Meist sind es jetzt nur noch Existenzbeweise für in obigem Sinne echt "paradoxe" Aussagen, aber diese sind eben nicht mehr widersprüchlich!
Z.B. wäre schön, wenn das Halteproblem in der Informatik paradox lösbar wäre, noch schöner wenn das notwendig paradoxe Lösungsprogramm für klassische Programme eine klassische Lösung liefern würde.
(Dabei müsste man paradoxen Programmen Hypothesen als Parameter mitgeben?).
Etwas weniger schön wäre (zumindest für mich), wenn die paradoxe Logik selbst widersprüchlich wäre, aber dann geht die Suche eben weiter ...
Gruß
Trestone
Bisher habe ich meist selbst die Prrobleme und Widersprüche in meinen Ansätzen aufgedeckt, aber vielleicht hat ja jemand von Euch Spaß daran?
Ausgangspunkt war folgende Überlegung/Intuition:
Bei der klassisch-logischen Analyse der obigen Lügneraussage macht man folgende Überlegungen:
1) Wenn L nicht wahr ist, dann ist L gemäß Definition wahr.
In Zeichen: 1a) L -w ->(Def.) L w,
andererseits gilt 1b) L -w -> (stets) L -w.
1a + 1b -> L -w -> L w und L -w (dies ist ein Widerspruch!)
2) Analoges gilt wenn L wahr ist:
2a) L w ->(Def) L -w,
2b) L w ->(stets) L w,
also L w -> L w und L -w (Widerspruch!)
Beide möglichen Annahmen 1) und 2) führen auf einen Widerspruch,
daher wird L in klassischer Aussagenlogik meist nicht als zulässige Aussage angesehen.
Dies gefällt mir nicht, und ich versuch(t)e ausfindig zu machen, was an der Logik zu ändern wäre, um L als (fast) normale Aussage behandeln zu können.
Dabei fiel mir auf, dass erst unsere jeweilige Annahme eines Wahrheitswertes bei 1) und 2) zu einem Widerspruch führt.
Da mir die "Substanz von L" jeweils in 1a und 2a zu stecken schien, betrachtete ich 1b) und 2b) genauer.
Warum muss eine Aussage eigentlich stets wahr sein, wenn wir einmal angenommen haben, dass sie wahr wäre? Vielleicht verändern sich ja Wahrheitswerte beim Schlußfolgern aus Hypothesen?
Und offensichtlich geschieht dies bei L ja ...
Streicht man nun 1 a und 1 b aus der Aussagenlogik (als stillschweigendes Vorurteil ...), könnte man fürchten, dass nun das Chaos ausbricht. Dies scheint aber nicht zu sein, im Gegenteil lässt sich die klassische Logik als Teilgebiet retten und man bekommt noch Argumentationsräume (die Welt der bisherigen Paradoxien) hinzu, ähnlich wie bei den reellen und komplexen Zahlen.
Bisher habe ich nur die Grundregeln ausgearbeitet:
1) Jede Aussage ist (je Analyseschritt) entweder wahr oder falsch.
2) Der Wahrheitswert von Aussagen kann sich beim Schlussfolgern (nur?) wie folgt verändern:
2a) (Annahme) K wahr -> K wahr und (Annahme) K nicht wahr -> K nicht wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitstreu" oder "klassisch".
Kurz: Kw <-> Kw (und K-w <-> K -w)
2b) (Annahme) L wahr -> L nicht wahr und (Annahme) L nicht wahr -> L wahr
Wir nennen Aussagen von diesem Typ "wahrheitsvariant" oder "paradox".
Kurz: Lw <-> L-w
Jetz müssten noch die üblichen Schlussregeln aufgestellt und angepasst werden, und unsere neue "paradoxe Logik" wäre fertig.
Bei nur klassischen Aussagen kann man dabei die klassischen Regeln weitergelten lassen.
Ein kleines Beispiel:
In klassischer Logik gilt: Aw -> Bw und Bw -> Cw dann Aw -> Cw.
Bei paradoxer Logik: Falls B klassisch ist, gilt Aw -> Bw <-> Bw -> Cw, also(?) Aw -> Cw.
Falls B aber paradox , gilt Aw -> C -w, zumindest wenn B-w -> C-w gilt.
Grundidee paradoxer Logik:
Der Wahrheitswert hypothetischer Aussagen kann sich beim logischen Schließen verändern, muss also "vor" dem Pfeil "->" nicht den gleichen Wert haben wie "danach" (an der Spitzenseite). Durch unser Folgern verändern wir die Wahrheitswerte, aber in berechenbarer Weise.
Dadurch sind viel mehr Aussagen zulässig, und die meisten klassischen Widerspruchsbeweise in Logik/Mengenlehre/Mathematik/Informatik können neu interpretiert werden.
Meist sind es jetzt nur noch Existenzbeweise für in obigem Sinne echt "paradoxe" Aussagen, aber diese sind eben nicht mehr widersprüchlich!
Z.B. wäre schön, wenn das Halteproblem in der Informatik paradox lösbar wäre, noch schöner wenn das notwendig paradoxe Lösungsprogramm für klassische Programme eine klassische Lösung liefern würde.
(Dabei müsste man paradoxen Programmen Hypothesen als Parameter mitgeben?).
Etwas weniger schön wäre (zumindest für mich), wenn die paradoxe Logik selbst widersprüchlich wäre, aber dann geht die Suche eben weiter ...
Gruß
Trestone
aradoxe Logik widerspruchsfrei möglich?
