Die Quantentheorie und die irrationalen Zahlen

[Giacomo_S]

Neulich bin ich auf eine Art "Unstimmigkeit" gestossen, für die ich eine Erklärung suche.

Es geht um Folgendes:
Das Plancksche Strahlungsgesetz gilt als Geburtsstunde der Quantenphysik. Es sagt im Wesentlichen aus, dass "der Energieaustausch zwischen Oszillatoren und dem elektromagnetischen Strahlungsfeld nicht kontinuierlich, sondern in Form kleinster Energiepakete (später als Quanten bezeichnet) stattfindet" (Wikipedia).
Oder anders gesagt: Die Energiepakete sind die kleinstmöglichen und besitzen somit einen endlichen Wert (letzteres meine Annahme aus dem Verständnis des obigen).

Das Plancksche Strahlungsgesetz lautet wie folgt:

U(v/t) = 8 PI h v^3 / e^(hv/kT) - 1

(eine bessere Formeldarstellung im o.g. Wikipedia-Artikel)

Die einzelnen Werte der Konstanten (Boltzmann-Konstante, Plancksches Wirkungsquantum usw.) oder die konkreten Ergebnisse aus dieser Gleichung sind für meine Fragestellung hier nicht von Belang.

1. Es geht mir um die Zahl PI und die Eulersche Zahl e. Denn diese Zahlen sind Irrationale Zahlen. Bekanntlich sind die Irrationale Zahlen Zahlen, die nicht durch Brüche Ganzer Zahlen dargestellt werden können; somit besitzen sie eine nicht endende Zahl von Stellen, die sich nicht wiederholen.

2. Alle anderen Werte der Gleichung sind entweder endliche Werte rationaler Zahlen (z.B. die Frequenz v) oder Naturkonstanten (h, k, T) und somit auch rational (oder liege ich da falsch ? Kann eine Naturkonstante auch irrational sein ?).

3. Mathematisch ist das Produkt aus einer Irrationalen Zahl und einer Rationalen Zahl immer auch irrational.

4. Für die Zahl PI/e ist es zwar nicht bewiesen, dass es sich um eine Irrationale Zahl handelt; es wird aber vermutet.

5. Die o.g. Gleichung ist also vom Wesen her: (PI/e) * Rationaler Zahl, sprich: Irrationale Zahl * Rationaler Zahl.

6. Somit sind alle Ergebnisse aus dieser Gleichung irrational. Sie besitzen endlose Stellen, die sich auch nicht wiederholen.

FRAGE: Widersprechen nicht die irrationalen Ergebnisse aus dieser Gleichung, der Aussage der "kleinstmöglichen Pakete", der Quantelung ? Müssten nicht, um der Aussage einer Quantelung zu genügen, alle Ergebnisse rational sein, sprich: endlich ?

 

[Mr. Anderson]

2. Alle anderen Werte der Gleichung sind entweder endliche Werte rationaler Zahlen (z.B. die Frequenz v) oder Naturkonstanten (h, k, T) und somit auch rational (oder liege ich da falsch ? Kann eine Naturkonstante auch irrational sein ?).

Ohne mir jetzt mal das Plancksche Strahlungsgesetz angesehen zu haben: Was spräche denn dagegen, dass eine Naturkonstante irrational sein kann? Zum Beispiel kommen in der Natur kreisförmige Oberflächen oder kugelförmige Gebilde sehr häufig vor, und die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises ist nunmal pi * r² ; bzw. die Formel für das Volumen einer Kugel: 4/3 pi * r³.

Die Flächeninhalte bzw. Volumen sind ja trotzdem „begrenzt“, auch wenn pi unendlich viele Stellen nach dem Komma hat. Von daher: können nicht auch Energiepakete, die in der Natur vorkommen, mit Hilfe irrationaler Zahlen beschrieben werden?

 

[Giacomo_S]

Der Einwand ist sicherlich nicht unberechtigt. Und selbst Wurzel 2 ist irrational - wie die Diagonale eines Quadrats, was ja dann auch die historisch erste irrationale Zahl war, die entdeckt wurde.

Nur kann man einwenden, dass z.B. der mathematische Kreis ein rein theoretisches Konstrukt sei. Denn schaut man sich einen realen Kreis einmal genauer an, "unter dem Mikroskop" sozusagen - dann ist es keiner. und seine mathematische Berechnung nur eine Näherung des realen, ein "idealer" Kreis.

Was mir an meinem Beispiel missfällt, ist die zugrundeliegende Aussage der Quantelung, "kleinster Pakete" eben. Wie kann das zusammengehen mit Werten endloser Genauigkeit ?

 

[streicher]

Nur kann man einwenden, dass z.B. der mathematische Kreis ein rein theoretisches Konstrukt sei. Denn schaut man sich einen realen Kreis einmal genauer an, "unter dem Mikroskop" sozusagen - dann ist es keiner. und seine mathematische Berechnung nur eine Näherung des realen, ein "idealer" Kreis.

Auch die ideale gerade Linie würde ich als rein mathematisches Konstrukt bezeichnen. Tatsächlich finden wir die 'ideale gerade Linie' wohl nirgends in der Realität vor. Nun mag jemand sagen, Licht breite sich im Vakuum geradlinig aus. Ein Konstrukt! Erstens breitet es sich in Wellenform aus. Zweitens braucht nur etwas Masse am 'Wegesrand' sein, schon nimmt das Licht einen kleinen Bogen. Was könnte man also schließen: der Kreis macht die Musik.

Mit fällt durch diesen Thread erst wirklich bewusst auf, wie maßgeblich wichtig die Kugel und der Kreis in physikalischen Überlegungen sind...

 

[Malakim]

Mit fällt durch diesen Thread erst wirklich bewusst auf, wie maßgeblich wichtig die Kugel und der Kreis in physikalischen Überlegungen sind...

Ist das nicht eher der Sonderfall und was Du meinst ist eine Ellipse?

 

[streicher]

:gruebel: Gute Frage...
Einerseits kann der Kreis als Spezialfall der Ellipse verstanden werden. Andererseits kann jede Ellipse durch Parallelprojektion eines Kreises dargestellt werden.

Nun, ich dachte zum Beispiel an Ausbreitungsphänomene wie 'punktförmige Lichtquelle im Raum', ein Tropfen fällt ins Wasser, aber auch kreisförmige Bewegungen. Man geht vom Kreis aus; eine Welle lässt sich auch am Kreis darstellen.

 

[streicher]

Es passt wohl am Besten hier hin: Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for Pi.

Hinweis auf den Artikel: Pi ist überall

 

[Giacomo_S]

Es passt wohl am Besten hier hin: Quantum mechanical derivation of the Wallis formula for Pi.

Habe nur die ersten paar Zeilen gelesen - aber ist das nicht an den Haaren herbeigezogen? Die Quantentheorie ist eine Theorie, die auf einer höheren Mathematik aufbaut und diese wiederum auf Pi.
Wie kann man dann die Quantentheorie dazu verwenden, eine Formel zur Berechnung von Pi zu beweisen?

Das ist so, als wolle man mit einem Uhrwerk die Kreisgeometrie beweisen.

 

[Mr. Anderson]

Kommt drauf an, was Du als bekannt voraussetzt. In der Mathematik ist es ja möglich, Sätze auf vielerlei Arten herzuleiten, je nachdem, was man dazu verwenden "darf" (und das wiederum hängt davon ab, was sich die Mathematiker selbst auferlegen).

Du kannst also aus dem ganzen Wissen der Mathematik – sagen wir mal, wenn wir alle bekannten Sätze aufschreiben würden – da dort einige Redundanz drin ist, bestimmte Sätze "rausschneiden" und diese wiederum aus anderen bekannten Dingen, die übrig geblieben sind, herleiten. (Theoretisch könnte man auch alles wieder aus den Axiomen herleiten, dauert nur etwas länger).

Auch kann man mit Pi grundsätzlich arbeiten, ohne eine (genaue) Formel für die Berechnung zu kennen, insbesondere auch diese eine Formel. Es gibt ja mehrere.