Alle Jahre wieder: Stufenlogik - Schlüssel zum Unendlichen?

[Trestone]

Es ist für mich wieder einmal Zeit,
an den Grundlagen der Logik zu rütteln.
Diesmal habe ich kaum neue Ideen mitgebracht,
sondern alte Ansätze von mir verbessert und weiterentwickelt.
Erst mache ich dabei vieles komplizierter,
aber mit Blick auf Unendlichkeit und Antinomien
wird manches einfacher...

Die Hauptidee dabei ist ein Stufenprinzip
(wobei erst nach und nach klar werden wird, was eine Stufe dabei ist,
die induktive Menge der Stufen T setzen wir (zunächst?) voraus):

Aussagen sind nicht einfach wahr oder falsch,
sondern können je nach Stufe einen anderen Wahrheitswert haben.

Der Wahrheitswert in einer Stufe wird hauptsächlich rekursiv
über die Wahrheitswerte (der gleichen oder anderer Aussagen)
in niedrigeren Stufen festgelegt, so dass letztlich alles auf die Stufe 0
zurückgeführt wird.

In dieser Stufe 0 (einer Art logischer Urknall)
lasse ich die einfachste aller möglichen Logiken gelten:
In Stufe 0 sind alle Aussagen wahr!

Da dies auch für die Negationen von Aussagen gilt,
sind in Stufe 0 auch alle Aussagen falsch, bzw. wahr und falsch nicht unterscheidbar.

Aber für die Wahrheitswerte in höheren Stufen stört dies nicht,
wir haben dadurch ein Induktionsprinzip, bei dem uns die Verankerung
jeweils unabhängig von der Behauptung geschenkt wird.

Das Ziel der neuen Logik ist, ein widerspruchsfreies Fundament für Logik , Mengenlehre und Arithmetik bereitzustzellen –
oder zumindest zur weiteren Suche nach alternativen Grundlagen anzuregen.
Leider wird dabei alles für den endlichen Fall komplizierter,
aber im Unendlichen dafür umso einfacher (dazu später).

Ein Beispiel:

Wir versuchen, die berühmte Lügnerantinomie „Dieser Satz ist nicht wahr“
als Stufenaussage anzunähern:

L wahr in Stufe t+1, genau wenn L in Stufe t nicht wahr ist.

In Stufe 0 ist L nicht wahr (und wahr), daher ist L in Stufe 1 wahr,
in Stufe 2 nicht wahr, in Stufe 3 wahr , usw.

L entspricht aber noch nicht ganz dem obigen Satz.

Wir benötigen dazu noch Aussagen über alle Stufen t.

z.B. L1 wahr in Stufe 1, genau dann wenn L1 in allen Stufen t nicht wahr ist.
Diese Aussage L1 wäre auch in der Stufenlogik paradox, da sie in Stufe 1 sowohl wahr als auch nicht wahr wäre
– was aber nur in Stufe 0 erlaubt ist.

Bei genauerem Hinsehen stellen wir fest, dass sich der Wahrheitswert von L1 nicht auf Stufe 0 zurückführen lässt.

Also stellen wir einfach folgende Fundierungsprinzipien auf:

1) Stufenaussagen sind wohldefiniert, wenn ihr Wahrheitswert in Stufe t+1
nur von Wahrheitswerten von Aussagen in kleineren Stufen abhängt.
2) Metaaussagen (wie Aussagen über alle Stufen oder die Existenz von Stufen mit bestimmten Werten oder Aussagen über einzelne Stufen) sind wohldefiniert, wenn die Grundaussage über die ausgesagt wird, wohldefiniert ist.
3) Auch Kombinationen aus 1) und 2) sind wohldefiniert.

Es sind also auch Aussagen über Aussagen und Aussagen über Stufen zulässig,
wenn im innersten Kern nur eine Aussage steckt, die sich auf Stufe 0 zurückführen lässt (Fundierung).

Bei der Lügnerantinomie (klassisch oder als L1) ist dies nicht der Fall,
da diese eine Aussage über sich selbst auf gleicher Stufe beinhaltet.

Analog ist in unserer Stufenlogik die Aussage G „Dieser Satz ist nicht beweisbar“
keine wahrheitswertfähige Aussage – dem Gödelschen Unvollständigkeitssatz zur Arithmetik ist also die Grundlage entzogen.

Doch nun ist zu zeigen, dass auch eine Stufenmengenlehre möglich ist, mit der sich auch Arithmetik betreiben lässt.

Wieder fordern wir, dass eine Menge M je Stufe t+1 eine Menge x als Element enthält oder nicht – und dies je t variieren kann.

In Stufe 0 seien alle Mengen leer (hier anders als in der Logik nicht zugleich voll - das Nichts als Start).

Für die Definition, ob x in Stufe t+1 Element von M ist, können alle (mengentheoretischen) Eigenschaften von x, M oder weiteren Mengen aus Stufen kleiner t+1 benutzt werden.

Wieder gilt für Erweiterungen das Fundierungsprinzip:

Eigenschaften höherer Stufen als t oder gar Aussagen über alle Stufen
Dürfen nur benutzt werden, wenn sie sich auf fundierbare (also wohldefinierte) Mengen beziehen.

Definition der leeren Menge 0:

Für alle t,x: x e(t+1) 0 :<-> x e(0) x (nie erfüllt, da zu Stufe 0 alle Mengen leer sind)

Definition der All-Menge ALL:

Für alle t,x: x e(t+1) ALL :<-> x -e(0) x (gilt stets)

Anders als in der üblichen Mengenlehre gibt es hier die Menge aller Mengen!

Die Russell-Menge gibt es wie die Lügneraussage nur in der gestuft-fundierten Form:

x e(t+1) R :<-> x –e(t) R mit R-e(0) R, R e(1) R, R –e(2) R, usw.

Definition: Zwei Stufenmengen sind gleich, wenn sie in allen Stufen die gleichen Elemente haben.

Definition einer Einermenge (nur a als Element, a sei fundierbar):

x e(t+1) M :<-> x = a <-> Für alle d,y gilt: y e(d+1) x <-> y e(d+1) a

Spannend ist nun, dass Cantors Beweis der Überabzählbarkeit bzw. zu Potenzmengen nicht mehr greift – d.h in unserer Mengenlehre benötigen wir keine verschiedenen Arten von Unendlichkeit.

Dies zeigt schon die Menge ALL, die gleich ihrer Potenzmenge ist.
Setzt man den Beweis von Cantor mit Stufenmengen an, ergibt sich seine paradoxe Hilfsmenge bei ALL gerade als R, die als Stufenmenge nicht paradox ist.

Auch die natürlichen Zahlen lassen sich mit Stufenmengenlehre beschreiben,
dazu benötigt man v.a. die Nachfolgerfunktion n+ zu wohldefiniertem n:

x e(t+1) n+ : <-> x e(t)n v x = n

Doch jetzt erst einmal genug der Formeln, denn mein Ziel ist kein technisch mathematischer Apparat,
sondern ein philosophischer Ansatz.
Da verdecken die Formeln mir vielleicht noch den Blick.
Unterstützung erwünscht!

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

in der Stufenlogik und Stufenmengenlehre sind Eigenschaften an Stufen gebunden (zumindest im Fundierungskern).
Dabei gilt ein hierarchisches Prinzip:
Eigenschaften einer Stufe t sind in der gleichen oder kleineren Stufen unbestimmt.
Interpretiert man Stufen als Zeitstufen, sind Eigenschaften nur rückwirkend wahrnehmbar.

Richards Paradox als Beispiel:

Betrachtet man in der klassischen Mengenlehre die folgende Zahlendefinition,
so führt sie auf einen Widerspruch:
r sei die größte natürliche Zahl, die sich mit weniger als tausend Buchstaben
und Leerzeichen darstellen lässt.

Da die Menge der natürlichen Zahlen, die sich mit weniger als tausend Buchstaben
oder Leerzeichen darstellen lassen, endlich und beschränkt ist,
hat diese Menge ein Maximum m.
Dieses ist eindeutig, selbst so darstellbar und daher gleich dem gesuchten r.
Andererseits ist der Nachfolger von m, nämlich m+1 ebenfalls darstellbar
und eine natürliche Zahl und noch größer als r, was aber nach Definition von r nicht sein kann!

Betrachten wir das Ganze nun in Stufenmengenlehre:

1. Versuch:
r sei die größte natürliche Zahl, die sich mit weniger als tausend Buchstaben
und Leerzeichen in vorgegebener Stufe t0 darstellen lässt.

Wieder hat die Menge der (in Stufe t0) darstellbaren Zahlen ein Maximum m (bzw. r)
aber diese Maximumeigenschaft ist erst in Stufe t0 + 1 bekannt.
Die Darstellung „Maximum der in t0-darstellbaren Zahlen + 1“ ist also keine t0-Darstellung
sondern eine t0+1-Darstellung und daher kein Widerspruch.

2. Versuch:
r sei die größte natürliche Zahl, die sich mit weniger als tausend Buchstaben
und Leerzeichen inkl. einer beliebigen Stufe t darstellen lässt.

Sei m wieder unser Maximum bei diesmal zugleich maximal darstellbarem t.
Dann gehört dieses Maximum wieder zu Stufe t+1 und t+1 ist nach Wahl wohl nicht mehr darstellbar,
also m+1 nicht unbedingt ein Widerspruch.

3. Versuch:
r sei die größte natürliche Zahl, die sich mit weniger als tausend Buchstaben
und Leerzeichen
in einer beliebigen Stufe t darstellen lässt.

Wir hatten ja schon gesehen, dass sich in Stufe t+1 auch der Nachfolger des Maximums von Stufe t
darstellen lässt (wenn wir uns um die Darstellung von t nicht kümmern müssen).
D.h. in jeder Stufe gibt es größere Zahlen, d.h. für unbeschränkte t ist r nicht begrenzt und damit keine natürliche Zahl
– also auch kein Widerspruch.

Wie man sieht, hilft die Stufung Paradoxa in den Griff zu bekommen.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

das Besondere der Stufenlehre zeigt sich schön bei den Zahlen:

Währnd klassisch eine natürliche Zahl n weitgehend der Menge
mit den Elementen 0,1,2,..,n-1 entspricht,
ist in der Stufenlehre eine natürliche Zahl n gewissermaßen eine Menge von Mengen, die in Stufe 1 nur n-1 als Element enthält,
in Stufe 2 dann n-1, n-2 usw. bis in hohen Stufen dann auch 0,1,..,n-1.

Wichtig Eigenschaften von n (wie z.B. Teiler) in Stufe t sind erst in Stufe t+1 bekannt und verfügbar.

Das hebt fast alle klassischen Widerspruchsbeweise auf:

z.B. Euklids Beweis von unendlich vielen Primzahlen:

Annahme: Zu Stufe t gibt es nur die Primzahlen p1,p2,...,pk.
Dann betrachtet Euklid die Zahl p1*p2*..*pk + 1 (Produkt plus 1).
Die Eigenschaft, zu Stufe t prim zu sein ist aber erst in Stufe t+1 verfügbar,
daher gehört die so konstruierte Zahl zu Stufe t+1.
Selbst wenn sie teilerfremd zu allen Primzahlen der Stufe t ist,
enthält sie allenfalls eine neue Primzahl der Stufe t+1.

Es könnte also je Stufe nur endlich viele Primzahlen geben,
aber unterschiedliche je Stufe.

Zweites Beispiel: Irrationalität von Wurzel 2:

Sei 2 = a/b * a/b mit ganzzahligem Bruch a/b in Stufe t.
Im klassischen Beweis nimmt man nun an, das a und b teilerfremd sind,
d.h. der Bruch gekürzt.
Die Eigenschaft, welche Teiler a und b haben, ist aber stufenabhängig
und daher erst in Stufe t+1 verfügbar.
Dort muss obige Gleichung aber nicht gelten,
sondern z.B. 2 = c/d * c/d in Stufe t+1.
Der Widerspruch mit dem Primteiler 2 lässt sich wegen des Stufenwechses
also nicht konstruieren.

In der Stufenlehre ist Wurzel 2 daher evtl. nicht irrational, sondern durch unterschiedliche Brüche je Stufe darstellbar.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

inzwischen habe ich die Stufenlogik und 3-wertige Logik weiterentwickelt
(v.a. durch eine Stetigkeits-/Monotonie-Forderung).

Vgl dazu den folgenden thread:

http://www.ask1.org/fortopic20046.html

Gruß
Trestone