Reelle Zahlen doch abzählbar?

[Trestone]

Der Beweis der Überabzählbarkeit durch Cantor beruht ja auf dem Cantorschen Diagonalverfahren: Aus der Annahme der Existenz einer Abzählung f(N) wird eine reelle Zahl r konstruiert, die sich an der i-ten Stelle von allen f(i) unterscheidet, was als Widerspruch zur Abzählbarkeit gesehen wird.
Nun habe ich mir an anderer Stelle (vgl. Philosophie, Lügnerparadoxon:
http://www.weltverschwoerung.de/modules.php?name=Forums&file=viewtopic&t=16058 ) überlegt, dass man die (logische) Welt auch so sehen kann, dass WENN-Ebene und DANN-Ebene voneinander getrennte bzw. unabhängige Dimensionen sind. In einer solchen Welt sind obige Widerspruchsbeweise nicht mehr schlüssig!
In einer solchen Welt ist folgendes zulässig : WENN f(1)=0 DANN f(1)=1.
Mann muss Funktionen also sowohl für die WENN-Ebnen als auch für die DANN-Ebene definieren. Das ganze erinnert an die komplexen Zahlen.
Klar ist: Eine Abzählung z.B. für alle beliebigen 0-1-Folgen muß "paradoxe" Elemente haben, also an einigen Stellen auf WENN- und DANN-Ebene unterschiedlich sein.

Wer kann mit diesen Hinweisen eine "paradoxe" Abzählung der 0-1-Folgen oder der reellen Zahlen kostruieren. "Hilbert´s Hotel könnte ebenfalls helfen...
Ich selbst bin technisch/mathematisch leider nicht so fit, mehr Philosoph...

 

[Trestone]

Mache ich doch den ersten Versuch:
f(2N) sei eine Abzählung der rationalen Zahlen zwischen 0 und 1.
(1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, usw.)

Spannender sind die irrationalen Zahlen, die ich mit den ungeraden Argumenten abzählen will.
Versuch:
f(1):= PI - 3, also f(1)=0,14xyz...
Diese (Dezimal-)Stellen von f(1) lasse ich nun "durchrutschen":
Sei f(1)=0, z11 z12 z13 z14 z15 ...
f(3):= 0, z31 z32 z33 z34 ...
mit z3i = z1(i+1)

Allgemein f(2n+1) = 0, z(2n+1)(1) z(2n+1)(2) ... z(2n+1)(i)
dabei z(2n+1)(i) := z(2n-1)(i+1)

Wenn wir Glück haben, findet sich in PI (oder einer geeignet gewählten erzeugenden Irrationalzahl) jede reelle Zahl zwichen 0 und 1.

Was aber ist mit Cantors Diagonalbeweis?
Konstruiere Diagonalzahl d, indem von f(n) jeweils die n-te Stelle genommen wird und dann noch 1 modulo 10 addiert wird.
d:= 0,d1 d2 d3 d4 ...
di:= zii + 1 Modulo 10, also ungleich zii
d unterscheidet sich von allen f(n), liegt aber zw. 0 und 1 und scheint reell!
Nun unser f muss in der DANN-Welt eine merkwürdige Eigenschaft besitzen:
WENN f(N) Aabzählung zu [0,1] ist DANN enthält f(N) nicht alle reellen Zahlen aus [0,1].
D.h. f(N) ist ggf. nur auf WENN-Seite Abzählung. Aber immerhin...

 

[Gilgamesh]

Hallo Oskar,
Du scheinst nach der allumfassenden Zahlentheorie zu suchen!?

Dein Versuch über philosophisch-logische Überlegungen zu mathematischen Formeln und Beweisen zu gelangen ist interessant, wird jedoch durch GÖDELS UNVOLLSTÄNDIGKEITSSATZ getrübt!

Die TU-Harbug hat hierzu eine interessante Zusammenfassung
http://www.tu-harburg.de/rzt/rzt/it/goedel/goedel.html

Zuvor sollte man aber klären, ob die Annahme der Unendlichkeit nicht ein Konstrukt unseres Geistes ist, der keinen Bezug zur Realität hat. Hierzu sind Themen wie Methodischer oder Radikaler Konstruktivismus sehr interessant.

http://www.philolex.de/konstrum.htm

Dein Beispiel mit den logischen Ebenen sollte man mit der Mengenlehre lösen können. Hier werde ich mir ein paar Gedanken machen. Oder siehst Du Deine logischen Ebenen als eine neue Mathematische Disziplin, die sich von der Mengenlehre oder sonstigen Lehren unterscheidet?

 

[Gilgamesh]

Trestone, schade dass Du Dich nicht mehr meldest. Das könnte ein interessanter Dialog zur Zahlentheorie werden.

Ich habe nochmal gründlich über Deine Theorie nachgedacht und habe evtl. einen Ansatz gefunden, womit man klären könnte, ob Reelle Zahlen nun doch abzählbar sind oder nicht!

Mein Ansatz geht zunächst davon aus, dass die Zahlen eigentlich nicht existent sind. Sie sind ein Produkt unserer Phantasie, eine Abstraktion der Realität. In der Realität jedoch sind die Sachen Abzählbar und nicht unendlich und somit sollten auch die Zahlen in ihrer Menge endlich sein!

Mathematiker betrachten die Zahlen jedoch unabhängig von der Realität.
Der Hauptgrund, warum die Zahlen hier als unendlich angesehen werden ist der, dass man den Zahlen anstelle einer elementaren Betrachtungsweise irgendwann eine geometrische Betrachtungsweise auferlegt hat. Hiermit wurde auch der Geist der Unendlichkeit aus der Flasche befreit!

So betrachtet man Zahlenreihen nicht mehr als eine Ansammlung einzelner elementarer Punkte, einer Perlenkette gleich, sondern eine in sich verbunde Linie, als eine Gerade oder Kurve.

Und wie bekannt kann man eine Linie, Gerade oder Kurve unendlich aufteilen oder segmentieren, was eben zu dieser Vorstellung der unendlichen Zahlenreihe führt.

So ergibt die Rechnung 1:3 = 0,3333 unendlich, nur aus dem Grund, weil man eine Gerade von dem Punk 0 zur 1 versucht in 3 Segmente zu teilen, was mit Natürlichen Zahlen nicht möglich ist, reell und geometrisch aber schon!

In diesem Problem liegt aber auch schon die Lösung begraben, denn.... um wenn wir eine Unendlichkeit geometrisch dadurch definieren, dass wir eine Strecke unendlich Teilen können, dann sollte einem auffallen, das eine Strecke aus mindestens 2 endlichen Punkten bestehen muß (Gerade) .

Damit hätten wir eine fest definierte Gerade mit einem Anfangs- und Endpunk,welches also begrenzt und nicht unendlich wäre und trotzdem zwsichen den Begrenzungspunkten die gesamten Reellen Zahlen aufnähmen könnte!

Ich behaupte also, das eine Gerade mit begrenzten Endpunkten die komplette Menge der Reellen Zahlen aufnehmen und darstellen kann!

Obwohl also innerhalb oder auf dieser Gerade dieser unendlich viele Zahlen existent sind (z.B. indem wir die Gerade unendlich oft teilen und jedem Teil eine Zahl aus R zuordnen), wäre sie trotzdem endlich und begrenzt!

Hier möchte ich erwähnen, dass innerhalb dieser beiden Begrenzungspunkte zunächst keine Reellen Zahlen existieren. Sie fangen erst dann an zu existieren, wenn wir sie erschaffen, als z.B. wenn wir die Strecke von 0 -> 1 versuchen durch 3 zu teilen. Erst mit dieser Aktion wird einen Ausdruck der Unendlichkeit erschaffen. Zuvor nicht!

Somit wären die Zahlen einerseits unendlich, andererseits aber doch endlich, da man zur Erschaffung dieser Unendlichkeit eine endliche Gerade aus mindestens 2 Punkten erschaffen muss!

Ohne die Erschaffung einer Gerade als mathematisches Konstrukt folgen auch keine Unendlichkeiten in der Theorie!

Kritiken und Anmerkungen willkommen.

(c) Gilgamesh

 

[Trestone]

Hallo Gilgamesch,

muss deine Überlegungen erst noch studieren und verdauen.

Zwei Punkte vorab:
1) Ich betrachte meine Überlegungen zur Logik als Veränderung/Erweiterung der Logik, die damit automatisch auch die Mathematik verändern.
Die Lage ist ähnlich wie bei Einführung der komlexen Zahlen.
Alle Widerspruchsbeweise (auch der von Gödel zur Unvollständigkeit) sind damit nicht mehr per se gültig.

2) zur Abzählbarkeit der reellen Zahlen o.ä. vermute ich, dass sich mit meiner Logik eine Lage wie mit der Kontinuumshypothese in der klassischen Mengenlehre ergibt: je nach Annahmen kann sie gefolgert werden - oder eben auch widerlegt, d.h beides ist möglich.

Begründung: Für die Lügnerantinomie L:= "L ist nicht wahr" gilt:
WENN L wahr ist, DANN ist L nicht wahr und
WENN L nicht wahr ist, DANN ist L wahr.

Je nach WENN-Annahme ist L also wahr oder nicht wahr.

Gruß
Trestone