dynamische Stufenlogik: komplex genug, um wahr zu sein?

[Trestone]

Hallo,

Vielen wird es zu viel, aber die alternativen Ansätze zur Logik sind noch lange nicht ausgeschöpft
und wie Don Quichote renne ich weiter gegen „klassische Windmühlen“ an und versuche dahinterliegende „Wahrheiten“ zu entdecken.

Ansatz 1: Bisher hatte ich schon einen dritten Wahrheitswert „u“ wie „unentschieden“,
„ungewiss“ hinzugefügt. (das ist nichts neues und bringt allein auch nicht viel).

Ansatz 2: Dann hatte ich sogenannte „Stufen“ eingeführt, wobei Aussagen einen
(logischen Wahrheits-) Wert nur zusammen mit einer Stufe bekamen
(und in unterschiedlichen Stufen auch unterschiedliche Werte annehmen konnten.)

Die erste fundamental neue Aussage gelang nun durch Kombination der beiden Ansätze:
In Stufe 0 sind alle Aussagen „unentschieden“. A0: Für alle A: W(A,0)=u.

Am Anfang steht also nicht „nichts“ oder „etwas“ sondern „u“.

Nun hatte ich bei der Chrono-Logik eine gewisse Monotonie/Statik gefordert:
War eine Aussage in einer Stufe wahr, so musste sie dies ab dieser Stufe immer sein, analog für „nicht wahr“. (Einmal wahr – immer wahr).
Das vereinfachte zwar den Umgang mit dieser Logik, schränkte aber ihre Anwendungen ein.

In unserer Alltagswelt begegnen wir dem Werden und Vergehen,
was mich dazu anregte, nach „wahr“ in späteren Stufen auch wieder „u“ zuzulassen.
Um ein Widerspruchskriterium zu behalten, wird nur der direkte Übergang von „w“ in „-w“ und der von „-w“ in „w“ ausgeschlossen.

Aus W(A,t)=w folgt ( W(A,t+1)=w oder W(A,t+1)=u ) .
Aus W(A,t)=-w folgt ( W(A,t+1)=-w oder W(A,t+1)=u ) .

Wieder können wir über Meta-Aussagen unbestimmte Aussagen bestimmter Stufen konstruieren:

W ( W(A,t)=w, d ) = u für d<=t wenn ( W(A,t-1) -= w und W(A,t)=w ) gilt.
Und W ( W(A,t)=w, d ) = w für d>t wenn W(A,t)=w gilt.

Die Wahrheit hat in der neuen (dynamischen) Logik einen Schönheitsfehler:
Sie ist nicht mehr ewig und zeitlos, auch bereits gewonnene wahre Sätze können wieder falsch werden.
Andererseits sind klassische Logik und Chrono-Logik eher Logiken für Götter als für Menschen…

Und auch in der dynamischen Stufenlogik lassen sich dauerhafte „Wahrheiten“ formulieren:
A0: (Nullstufe unbestimmt) Für alle A: W(A,0)=u.
Für alle t >=1 gilt wohl: W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u, t ) = w.
D.h. A0 ist eine ab t=1 immer wahre Aussage.

Notieren wir zu A0 noch weitere Grundaxiome:

A3: (Dreiwertigkeit) Stufenaussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) nimmt jeweils genau einen der Werte w, u, -w an.

(Für alle t >=1 gilt wohl: W ( A3, t ) = w.)

A1: (Widerspruchsfreiheit, Stetigkeit) Für alle Stufenaussagen A und beliebiges t gilt:
Wenn W(A,t) = w, dann W(A,t+1) -= -w und
wenn W(A,t) = -w, dann W(A,t+1) -= w.

D2a: 1. Definition Gleichheit:
Zwei dynamische Stufenaussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen gleiche Werte haben.
A1=A2 :<-> Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

D4: Stufenzuordnung: Hat eine Aussage A ab Stufe t0 einen konstanten Wert,
so nennen wir A eine Aussage der Stufe t0 und setzten t(A):=t0.
Der Teil (Die Werte in den Stufen) vor t(A) heißt „dynamisch“ , der Teil ab t(A) „statisch“.
Es gilt: W(A,t) = W(A, t(A)) für alle t >= t(A).

Es gibt aber auch unendlich „schwankende“ nicht konvergente (rein dynamische) Aussagen.
Bsp.: W(S,0)=u, W(S,1)=w, W(S,2)=u, W(S,3)=-w,W(S,4)=u,W(S,5)=w, W(S,6)=u,W(S,7)=-w, …

D2b: 2. Definition Gleichheit:
Zwei Stufenaussagen A1 und A2 sind gleich, wenn sie zur gleichen Stufe t(A1) gehören und dort den gleichen Wert haben
und für alle kleineren Stufen gleiche Werte haben.

Lassen wir uns überraschen, wofür das ganze zu gebrauchen ist …

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

gerade zur Analyse von klassisch widersprüchlichen Sätzen ist meine Logik gemacht, ich suche aber noch nach der richtigen Form.

Letztlich will ich damit alle Widerspruchsbeweise (z.B. von Cantor, Russell, Gödel, aber vielleicht auch Euklid u.a.) neu beleuchten und vielleicht sogar umgehen ...

Als Inspiration diente dabei die Quantentheorie
(Eigenschaften nicht permanent, sondern nur nach Messung/Dekohärenz -> Stufen und Metastufen, Interferenzzustände -> Wert u).


Nach dem Motto “weniger ist mehr” will ich noch ein Axiom einsparen:

A1: (Widerspruchsfreiheit, Stetigkeit) Für alle Stufenaussagen A und beliebiges t gilt:
Wenn W(A,t) = w, dann W(A,t+1) -= -w und
wenn W(A,t) = -w, dann W(A,t+1) -= w.

Dieses wird ersatzlos gestrichen.

Denn man könnte sich ja auch einfach nur auf Aussagen beschränken,
die für alle geraden t den Wert u annehmen
und dann de facto nur noch die ungeraden t betrachten.
Das erscheint mir unnötig kompliziert,
und so wird nun auch der direkte Sprung von w auf –w (und umgekehrt) zugelassen.

Nun wird es noch einmal ein wenig kompliziert (dafür können wir dann mit Metaebenen jonglieren):

Ich hatte ja schon Stufen t eingeführt und festgelegt, dass Aussagen A nur Werte W(A,t) je Stufe annehmen.

Nun kann man auch Meta-Aussagen MA über solche Wertzuweisungen W(A,t) machen,
und auch dies sind wieder Aussagen mit Werten W(MA,d) in Stufen d.

AM: Metastufen“axiom“: (Wahrscheinlich sogar ableitbar):

Diese Art (Wert-)Metaaussagen haben nun aber eine wichtige Eigenart:
Sie sind für kleine Stufen zunächst u, nehmen dann einen Wert ungleich u an
Und bleiben ab dann konstant bei diesem Wert.
Die Stufe d(MA), zu der W(MA,d) zum ersten mal ungleich u ist,
nenne ich die „Metastufe von MA“. Es gilt W(MA,d)=u für d<d(MA).

Ist t1 die größte vorkommende Stufe zu A in MA, so ist d(MA)<=t1+1.

„Von oben (in hohen Meta-Stufen) sind alle Eigenschaften klar,
von unten (und für sich selbst) sind sie blind (Bodennebel)“

Eine Aussage A „hat“ also nicht einfach einen Wert W(A,t) (z.B. w), den man in allen Gleichungen für W(A,t) einsetzen darf,
sondern man muss die „Betrachtungs-Stufe“ d (Kontextebene) beachten, in der man sich dabei bewegt.

Ein Beispiel: MA:= W(A,2)=w (und dies treffe zu).

W(MA,0)=u (gilt ja stets).
W(MA,1)= W( W(A,2)=w,1 ) = u (könnte sein, aber auch w)
W(MA,2)= W( W(A,2)=w,2 ) = u (könnte sein, aber auch w)
W(MA,3)= W( W(A,2)=w,3 ) = w (muss gelten)

Zu Meta-Stufen (ein Herzstück der Stufenlogik) werden wir gleich ein besseres Beispiel untersuchen,
denn jetzt können wir das berühmte Lügnerbeispiel erneut angehen:

Klassisch: „Dieser Satz ist nicht wahr“

Stufenlogisch: L:= (W(L,t0) -= w) (Diese Aussage L nimmt in Stufe t0 nicht den Wert w an)

Klar: L ist eine Metawertaussage (zu sich selbst).

W(L,0)=u (gilt stets).
L hat nach AM eine Metastufe d(L) mit W(L,d)=u für d<d(L) und W(L,d(L)) -= u.
Es gilt d(L)<=t0+1.
W(L,d(L)) = W(W(L,t0)-=w,d(L))
1. Fall: t0<d(L): -> W(L,t0) darf durch u ersetzt werden in: W(W(L,t0)-=w,d(L)) = W(u -= w, d(L)) = w = W(L,d(L)).
2. Fall: t0>=d(L): -> W(L,t0) darf durch W(L,d(L)) ersetzt werden in W(W(L,t0)-=w,d(L)) = W(W(L,d(L)) -= w, d(L)) = W(L,d(L)) = W(L,d(L)+1).
2.1. Ann. W(L,d(L)=w: -> W(L,d(L)+1)= W(W(L,d(L)) -= w, d(L)+1) = W(w-=w, d(L)+1) = -w. (Widerspruch für Metaaussage)
2.2. Ann. W(L,d(L)=-w: -> W(L,d(L)+1)= W(W(L,d(L)) -= w, d(L)+1) = W(-w-=w, d(L)+1) = w. (Widerspruch für Metaaussage)

Also gilt stets: t0<d(L)<=t0+1, d.h. d(L)=t0+1.

Wir haben also die Metastufe von L bestimmt und zugleich ein Beispiel für eine „meta-t0-wahre“ Aussage kennen gelernt (für beliebiges t0).

Dieser Lügner ist also eingefangen.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Nachdem die Logik nun grob umrissen ist, wende ich mich der (Stufen-)Mengenlehre zu.

Grundbeziehung: x є M wird wie eine Stufenaussage behandelt:

M0: Für alle Stufenmengen x, M gilt: W (x є M, 0) = u

M3: Für alle Stufenmengen x, M und alle Stufen t gilt: W(x є M, t) nimmt jeweils genau einen der Werte w, u, -w an.

D2a: Definition Stufenmengengleichheit:
Zwei Stufenmengen M1 und M2 sind gleich, wenn für beliebige Stufenmengen x
die Elementbeziehungen x є M1 und x є M2 in allen Stufen gleiche Werte haben.
M1=M2 :<-> Für alle t: W(x є M1, t) = W(x є M2, t)

W( x є M1 ∩ M2, t) := W(x є M1, t) ∩ W(x є M2, t)

W( x є M1 υ M2, t) := W(x є M1, t) υ W(x є M2, t)

W(x є M1 \ M2, t) := W(x є M1, t) ∩ - W(x є M2, t)

W(x є M, t+1) := W ( Fo W(x є M, t), t+1 ) definiert eine Menge M.

Russellmenge:

W(x є R, t+1) := W ( W(x є x, t) ≠ w , t+1); W(R є R, 0) = 0.
t=0: W(R є R, 1) := W ( W(R є R, 0) ≠ w , 1) = w.
W(R є R, 2) := W ( W(R є R, 1) ≠ w , 2) = -w.
W(R є R, 3) := W ( W(R є R, 2) ≠ w , 3) = w. Usw.

Also widerspruchsfrei möglich.

Daher gibt es neben der leeren Menge 0:
W ((x є 0, t+1) := W ( W(x є 0, 0)=w, t+1 ) = -w

Auch die volle Menge All:
W ((x є All, t+1) := W ( W(x є All, 0)=u, t+1 ) = w


Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

die Gleichheitsrelation ist der Schlüssel zu vielem:
Sie hilft zu einem besseren Verständnis der Stufen
(über das auch ich selbst noch nicht ausreichend verfüge …).

Noch einmal genauer

Bisher (in einem Vorgängerthread zu Chrono-Logik) hatte ich definiert:

D2a: 1. Definition Gleichheit:
Zwei dynamische Stufenaussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen gleiche Werte haben.
A1=A2 :<-> Für alle t: W(A1,t) = W(A2,t)

Das hier definierte „A1=A2“ ist eine (Meta-)Aussage,
nach dem Grundansatz der Stufenlogik hat diese erst in Verbindung mit einer Stufe d einen Wahrheitswert.
(Wie wir sehen werden, ist dieser Wahrheitswert überraschenderweise meist „unbestimmt“).

W(A1=A2,d) = W ( Für alle t: W(A1,t) = W/A2,t) , d ).

Nun ist der rechte Ausdruck für alle Stufen t >= d „blind“,
d.h. es können in Stufe d nur Werte W(A1,t) und W(A2,t) verglichen werden,
bei denen t kleiner als d ist.

Daher gibt es zunächst 2 Fälle:

1. Fall: Es findet sich ein Gegenbeispiel mit W(A1, t0) -= W(A2,t0) und t0<d.
Dann ist W(A1=A2,d) = -w.

2. Fall: Es findet sich bis d-1 kein solches t0.
Dann ist W(A1=A2,d) = u. (Manchmal doch w, siehe Sonderfälle unten).

Denn selbst wenn für alle t<d gilt: W(A1,t)=W(A2,t) , so gehören ja auch die größeren t,
insbesondere t=d dazu:
W ( W(A1,d) = W(A2,d) , d ).
Nun könnte man meinen, dass von der Metastufe d aus W(A1,d) und W(A2,d) unbestimmt
sind und daher W ( W(A1,d) = W(A2,d) , d ) = W ( u = u , d ) = w.
Diese Auftrennung ist aber nicht zulässig, da die in Stufe d zu entscheidende Aussage
„W(A1,d) = W(A2,d)“ als Ganzes lautet, und daher als Ganzes unentscheidbar ist
(weil selbst der Stufe d zugehörig).
Es gilt also (bis auf die Ausnahmen s.u.): W ( W(A1,d) = W(A2,d) , d ) = u.

Das hieße, das sich Gleichheit nie als wahr beweisen ließe und nur widerlegen (Karl Popper lässt grüßen …).

Es gibt aber noch zwei wichtige Sonderfälle/Ausnahmen:

1) Wenn die Werte von A1 und A2 vollständig durch die Werte von Aussagen unterhalb einer festen Stufe t1 beschrieben / festgelegt / definiert sind,
so ist für d >= t1 auch die Wahrheit von „A1=A2“ in Stufe d möglich.

Beispiel: Definiere A1 über W(A1, t+1):= W(A1,t) für t>=1 und W(A1,1):=w.
Definiere A2 über W(A2,t):=w für alle t>=1. (Also hier t1=2).

Dann gilt: W(A1,0)= u = W(A2,0)
W(A1,1)= w = W(A2,1)
W(A1,t+1) = W(A1,1) = w = W(A2,t+1) = W(A2,1).

Daher genügt es t= 0 und t=1 zu betrachten:
W(A1=A2,0)=u
W(A1=A2,1)=u
W(A1=A2,2)=w und W(A1=A2,d) = w für alle d >= 2.

2) Auch strukturelle (Meta-)Eigenschaften von A1 und A2 können die Gleichheit entscheidbar machen:
Sind beide „identisch“ , dann gilt W(A1=A1,d) = w für d >= 1.

Allgemein gilt: Lassen sich die Werte von A1 durch die Werte von A2 logisch für alle Stufen t (ohne unendliche Einzelbetrachtung von t) ausdrücken
(z.B. durch Induktion nach t), so ist die Gleichheit entscheidbar.

Z. B. wenn gilt: W ( W(A1,t+1) = - W(A1,t), d ) = w für d>t+1 ; W(A1,1)= -w.
W(A2,t) = w für gerade t>0.
W(A2,t) = -w für ungerade t.

W ( W(A1,1)= - w = W(A2,1) ,2 ) = w. (Induktionsverankerung).
Sei W( W(A1,t)=W(A2,t) , d ) = w (und d>t+1)
1. Fall: t gerade: Dann ist W(A2,t) = w = W(A1,t) und W(A1,t+1)=-w.
Und dann ist W(A2,t+1)=-w.
Also auch W( W(A1,t+1)=W(A2,t+1) , d ) = w .
2.Fall: t ungerade: analog.

Also gilt: W(A1=A2, d) = w für d>= 1

Das ist formal zwar noch nicht ausgereift, zeigt aber die Richtung:
Meist ist die Gleichheit von Aussagen unentscheidbar,
außer wir können „Metainformationen“ nutzen,
v.a. wenn die Aussagen „Stufenregeln“ gehorchen oder schon durch niedrige Stufen festgelegt sind.

Manche(r) wird sagen, „warum so kompliziert, die klassische Logik ist da doch viel einfacher?“
Aber erstens werden hier schon auf Stufe der Logik Strukturen und Zusammenhänge klarer,
die klassisch z.T. erst bei Mengenlehre und Beweistheorie auftreten
und zweitens habe ich die Hoffnung noch nicht aufgegeben,
mittels der Stufenlogik eine „einfachere“ und „widerspruchsfreiere“ Mathematik aufbauen zu können.

Das erscheint zwar angesichts der komplizierten Lage bei der Gleichheit schwierig,
aber wahrscheinlich können wir uns zum Aufbau der Mathematik meist auf „zahme“ Stufenaussagen stützen,
nämlich t-induktiv gebildete oder t- beschränkte Aussagen,
d. h. genau die Typen von Stufenaussagen, bei denen wir die Gleichheit entscheiden können.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Etwas verwirrend ist in der Stufenlogik auch das Substitutionsprinzip:

Ist in klassischer Logik der Wert W(A) einer Aussage z.B. w,
so darf man in allen logischen Gleichungen jeweils W(A) durch w ersetzen.

Nicht so in der Stufenlogik:

Ist W(A,3)=w so wäre nach dem Substitutionsprinzip W ( W(A,3)=w , 3 ) = W ( w , 3 ) = w.
Aber Metastufen sind für sich selbst blind, daher gilt: W ( W(A,3)=w , 3 ) = W ( u , 3 ) = u.

Man darf also bei Metaschachtelungen nicht von innen nach außen,
sondern nur von außen nach innen ersetzen und auflösen.
Es gilt also eine kontextabhängige (metastufenabhängige) Substitution.

Also bei einem Gebilde W ( W ( W ( … (W(A,t1)=…, t2) = …, t3 )=…, …tn-1) , tn )
startet man mit der äußersten Klammer und der Stufe tn und betrachtet von dieser Stufe aus die Klammer mit tn-1 usw..

Dabei gibt es einen Zusammenhang zwischen W(A,t) und der Metaaussage W ( W(A,t) = w , d ):
Falls W(A,t)=w gilt, nimmt W ( W(A,t)=w, d) für kein d den Wert –w an (Meta-Widerspruchsfreiheit)
und für d>t nimmt W ( W(A,t)=w, d) den Wert w an (und ist dort konstant).

Für große d ähneln Metaaussagen also klassischen Aussagen,
da sie dann nur einen Wahrheitswert haben (meist w oder – w).

Die „innere Struktur“ von A kommt für kleine d zum Tragen:

Ob bei W(A,t)=w auch W ( W(A,t)=w, d ) = w für d <= t gilt,
hängt von Konstruktionseigenschaften von A ab,
etwa ob es durch Werte für Stufen <= t0 vollständig beschreibbar ist,
oder einer t-induktiven Werteformel gehorcht.

Die Bewertungsstufe d benötigen wir auch für logische Verknüpfungen:

W( W(A1,t1) v W(A2,t2) , d ) = W(A1,t1) v W(A2,t2) falls d > max ( t1,t2)
Wobei die rechte „V“-Verknüpfung „klassisch“ zu interpretieren ist: w v u = w, u v –w = u , usw..
(Für kleinere d kann die Konjunktion auch „u“ sein, obwohl die Einzelwerte „w“ wären.)

Für genügend große d dürfen wir also die Substitutionsregel bei t anwenden.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

betrachten wir das Grundaxiom A0 noch einmal genauer:

A0: (Aussagen sind in Stufe Null stets unbestimmt):
A0:= „Für alle A gilt: W(A,0)=u“.

Folgende Fragen fallen mir dazu ein:
1. Müssen wir dazu nicht schon wissen (definiert haben), was eine „Aussage“ ist?
2. A0 ist ja selbst eine Aussage. Welche Wahrheitswerte hat sie in welcher Stufe?

Zu 1. können wir uns z.B. auf einen formalen Standpunkt zurückziehen:
Als „Aussagen“ lassen wir einfach beliebige „Zeichenketten“ zu.

Zu Stufe 0 gilt nach A0: W(A0,0)=u. (In Stufe 0 ist also unbestimmt, das alles unbestimmt ist …).
In Stufe 1 setzen wir: W ( A0, 1 ) = W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u , 1 ) = w.
Zusätzlich fordern wir, dass W(A,0) von höheren Stufen betrachtet
den gleichen Wert hat wie von Stufe 1 aus betrachtet.
Dann gilt:
Sei d >=1: Dann gilt: W ( A0, d ) = W ( Für alle A gilt: W(A,0)=u, d ) = W ( Für alle A gilt: u=u , d) = w.
D.h. A0 ist eine ab d=1 immer wahre Aussage.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

ein Schlüssel zum Verständnis der Stufenlogik ist die Gleichheitsbeziehung:
Wann sind zwei Aussagen (stufenlogisch) gleich?

Zunächst ist Gleichheit eine Eigenschaft und deren Vorliegen ist wie bei allen Eigenschaften stets in Verbindung mit einer Stufe zu betrachten:

A hat Eigenschaft E von Stufe t aus gesehen: W ( A hat E, t ) = ?

Also W ( A1=A2 , t ) = ?

In Logiken definieren sich äquivalente Aussagen üblicherweise über den Wahrheitswert,
in der Stufenlogik gibt es dazu drei Werte: w, u, -w, die zudem noch je Stufe unterschiedlich sein können.

Daher setzen wir: A1=A2 := ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) ).

Diese Definition setzen wir in obige Formel ein (und ersetzen dort t durch d):

W ( A1=A2 , d ) = W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d )

Klar ist: W ( A1=A2 , 0 ) = u. (In Stufe 0 ist für alle Aussagen Gleichheit unentscheidbar).

Wir untersuchen nun, ob „Gleichheit in Stufe d“ eine Äquivalenzrelation ist:
(Dabei unterstelle ich, dass für die Werte W(A,t) diese Gesetze gelten)

Reflexivität:
W ( A1=A1,d) = W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A1,t) , d ) = w (für d>=1).
Also ab Stufe 1 erfüllt.

Kommutativität:
Sei W ( A1=A2, d ) = w . Dann gilt: W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w
Und damit auch: W ( Für alle t gilt: W(A2,t) = W(A1,t) , d ) = w, also: W (A2=A1,d) = w .
Also ab Stufe 1 erfüllt.

Transitivität:
Sei W(A1=A2,d)=w und W(A2=A3,d)=w. Dann gilt: W(Für alle t gilt: W(A1,t)=W(A2,t) ,d) = w und W(Für alle t gilt: W(A2,t)=W(A3,t),d) = w.
Dann gilt auch W(Für alle t gilt: W(A1,t)=W(A3,t) ,d) = w, also: W(A1=A3,d)=w (für d>=1).
Also ab Stufe 1 erfüllt.

Betrachten wir Gleichheit also nur von einer Stufe d aus, hat sie die gewohnten Eigenschaften.

Nun wäre es aber unschön, wenn Aussagen in einer Stufe gleich wären, in der nächsten aber ungleich.

Diese „stufenübergreifende“ Gleichheit ist schwerer zu analysieren:

Sei W ( A1=A2, d ) = w . Dann gilt: W ( Für alle t gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w
Und es gilt auch W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w und W ( Für alle t>=d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = w.

Nun ist W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d ) = W ( Für alle t<d gilt: W(A1,t) = W(A2,t) , d+1 ) = w (in höheren Stufen bleibt bei Metaaussagen der Wahrheitswert.)

Ich vermute, dass wenn von Stufe d aus eine All-t-Aussage zu W(A1,t) und W(A2,t) entschieden werden kann
(z.B. weil a1 und a2 eine Darstellung besitzen, in der nur Stufen kleiner d vorkommen),
dass diese Aussage dann auch von Stufe d+1 aus gültig bleibt.

D.h.: Aus W ( A1=A2, d ) = w folgt W ( A1=A2, d+1 ) = w und
aus W ( A1=A2, d ) = -w folgt W ( A1=A2, d+1 ) = -w.

Allerdings gilt dies nicht für W ( A1=A2, d ) = u, denn W ( A1=A2, d+1 ) kann dann noch alle drei Werte w,u,-w annehmen.

Zu zwei Aussagen A1, A2 gibt es also ein minimales d, bzgl. dessen sie gleich oder ungleich sind.

Wir können also definieren:
Sei d(A1,A2) die minimale Stufe, an der W(A1=A2,d) -= u gilt (bzw. 0 wenn stets u).
Dann heißen A1 und A2 „gleich ab Stufe d“ bzw. „ungleich ab Stufe d“. (oder „unvergleichbar“ falls d(A1,A2)=0)

Stets gilt: A1 ist mit A1 „gleich ab Stufe 1“.

Aussagen, die miteinander ab Stufe 1 gleich sind, bilden eine Äquivalenzklasse.

Die Äquivalenzklasse der in Stufe 1 gleichen, ab Stufe 1 immer wahren Aussagen,
und die der ab Stufe 1 immer nicht wahren Aussagen kommen den klassischen wahren und falschen Aussagen sehr nahe.
Man sieht, dass sie in der Stufenlogik Spezialfälle sind und diese noch viel mehr Möglichkeiten zulässt.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

die in allen Stufen ab 1 wahren bzw. nicht-wahren Aussagen sind ja den klassischen Ausagen sehr ähnlich, ich nenne sie kurz „1-w“-Aussagen.

Und diese Eigenschaft vererbt sich auch:

Ist A 1-w und B 1-w so auch –A, A&B und A v B.

Denn W(-A,t) = - W(A,t); W(A&B,t) = W(A,t) & W(B,t); (AvB,t) = W(A,t) v W(B,t).

Für 1-w-Aussagen ist die Stufenlogik der klassischen Logik also sehr ähnlich.
(Weshalb letztere die letzten 2000 Jahre wohl für unsere Alltagspraxis ausreichend war …)

Erstes Beispiel für einen nicht 1-w-Satz ist der Lügnersatz:
L:= Diese Aussage L ist nicht wahr

1) L:= “W(L,t) -= w“ (für beliebige t)

Betrachte W(L,d) = W (W(L,t)-=w),d) für t=0 und d=1:
W(L,1)=W(W(L,0)-=w,1) = W(u-=w,1) = w
Für t=1 und d=2:
W(L,2) = W(w-=w,2) = -w. L ist also nicht 1-w.

2) L:= “Für alle t gilt: W(L,t) -= w“

Betrachte W(L,d) = W (Für alle t gilt: W(L,t)-=w , d ).
Ann.: W(L,1)=w -> W(W(L,1)-=w, 2) = W(w-=w,2)=-w -> W(L,2)=-w.
Ann.: W(L,1)=-w -> W(W(L,1)-=w,2) = w -> W(L,2) = W(Für alle t>=2 gilt: W(L,t)-=w , 2 ).
Zu zeigen bleibt noch, dass W(L,2) nun u oder w ist.

Gruß
Trestone

 

[Der Nager]

Das muss ich erstmal durcharbeiten...

 

[Trestone]

Hallo,

Jetzt noch zu einer exotischen Eigenschaft meiner Logik:
Sie ist kontextsensitiv.

Dazu betrachten wir wieder den Lügnersatz, zunächst klassisch:

L:= Dieser Satz L ist nicht wahr.

Also: (1a) L:= W(L) -= w.

1.Fall: Annahme, es gilt W(L)=w.
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch w:
W (L) = W ( w -= w ) = -w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)=w.

2.Fall: Annahme, es gilt W(L)= -w.
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch -w:
W (L) = W ( -w -= w ) = w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)= -w.

Mit zweiwertiger klassischer Logik also nicht lösbar.

Sei nun zusätzlich noch der Wert „u“ für Aussagen zugelassen,
(also eine dreiwertige Logik).
„-=w“ bedeutet nun entweder gleich –w oder gleich u zu sein.

1. und 2. Fall bleiben wie oben.
Nun noch ein 3. Fall: Annahme, es gilt W(L)=u.
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch u:
W (L) = W ( u -= w ) = w . Dies steht im Widerspruch zur Annahme W(L)=u.

Also auch noch kein Ausweg.

Wir haben jeweils die Ersetzung von W(L) durch einen Wahrheitswert in (1a) benutzt.
Nun ist aber zwischen W(L)=w und W ( W(L) -= w ) ein Unterschied bzgl. W(L):
Im zweiten Fall steht um W(L) noch eine Klammer mit einem weiteren W-Aufruf.
Wenn wir den Wert W(L) also kontextabhängig machen (nach Anzahl der umgebenden W-Klammern) können wir das Paradoxon vermeiden:

Ann.: W(L)=w wenn W(L) ohne weitere W-Klammern steht
Und W(L) = -w wenn W(L) in eine W-Klammer eingebettet ist.

Kontextsensitiver 1. Fall:
Annahme, es gilt W(L)=w. (und damit W(L)= -w in einer W-Klammer).
Aus (1a) folgt: W (L) = W ( W(L) -= w ).
Hier ersetzen wir das W(L) auf der rechten Seite durch –w (da in W-Klammer):
W (L) = W ( -w -= w ) = w.

Bei kontextsensitiver (wechselwertiger) Logik könnte L also wahr sein.

Natürlich will man keine so willkürlich konstruierte Logik,
in der der gleiche Ausdruck je nach Kontext einmal wahr und einmal falsch ist.

Die Stufenlogik ist eine kontextsensitive Logik,
die versucht, mit plausibleren Kontextabhängigkeiten zu operieren.
(Ganz ist das wohl noch nicht gelungen …)

Grundgröße ist hier W(A,t).
Wenn W(A,t) = w gilt, ist nicht automatisch W ( W(A,t)=w, d) = w.

Hier einige Kontext-Regeln der Stufenlogik:

K1) Immerhin gilt: Falls W(A,t) = w gilt, dann gilt W ( W(A,t)=w , d ) = w für d>t.
(D.h. wenn d > t ist, darf W(A,t) durch seinen Wert ersetzt werden)

K2) Und bei W(A,t) = w ist W ( W(A,t)=w, d) -= -w (d.h. mit W-Klammer wird aus w allenfalls u oder doch w).

Interessant auch der Fall:
K3) Gilt für alle t : W(A,t) -= w, so kann W ( für alle t gilt: W(A,t) -= w , d ) gleich u oder gleich w sein.

K4) Ist W ( für alle t gilt: W(A,t) -= w , d ) = w , so gilt auch W ( für alle t gilt: W(A,t) -= w , d+1 ) = w. (analog mit –w, aber nicht mit u).

Jetzt wieder zum Lügnersatz:
(1b) L:= W(L,t) -= w

1. Fall: Ann. W(L,t) = w
Dann gilt nach (1b): W(L, d) = W (W(L,t) -= w , d )
Setze d=t+1: W(L,t+1) = W ( W(L,t) -= w , t+1 )
Also nach K1): W(L,t+1) = W ( w -= w , t+1) = -w.

Wir sehen also, dass L in der Stufenlogik einen nach Stufen alternierenden Wahrheitswert haben könnte, was dort kein Widerspruch ist.

Es gibt noch eine andere Formulierung des Lügnersatzes in der Stufenlogik:

(1c) ) L:= Für alle t gilt: W(L,t) -= w.

Daraus folgt: W(L,d) = W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d )

1. Fall: Ann. W(L,d)=w. Dann ist W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = w
Und nach K4): W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d+1 ) = w.
In W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d+1 ) dürfen wir für t=d nach K1) auch W(L,d) durch w ersetzen, was zu einem Widerspruch führt.

2. Fall: Ann. W(L,d)= -w. Dann ist W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = -w.
Dann gibt es ein t0 mit W(L,t0)=w. Damit weiter wie bei Fall 1 -> Widerspruch.

3.Fall: Ann. W(L,d) = u. Dann ist W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = u.
Dank der Kontextsensitivität ist denkbar, dass für alle t gilt: W(L,t)=u
und dennoch W (Für alle t gilt: W(L,t) -= w , d ) = u (und nicht w).
Auch dieser Lügnersatz (1c) ist also wohl in der Stufenlogik widerspruchsfrei,
aber der beweis dazu ist noch nicht ganz vollständig.

Die Stufenlogik hat also drei Änderungen gegenüber der klassischen Logik:

1) Sie ist dreiwertig
2) Sie ist kontextsensitiv
3) Sie benutzt Stufen

Gruß
Trestone

 

[Lucius_Sinclair]

Puh,
ich finde den Ansatz echt interessant, muss mich aber "Der Nager" anschließen.
Ich hoffe es finden sich keine inneren Widersprüche in dieser Logik, ich habs im Detail aber noch nicht durchgedacht, hab das aber noch vor...

 

[Trestone]

Hallo,

die jüngsten Überlegungen haben mein Interesse an kontext-sensitiven Logiken geweckt.

Diese Spur verfolge ich in einem Nachbarthread:
http://www.ask1.org/post513670.html#513670

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Wie z.T. bemerkt wurde, hat mein Ansatz zur Stufenlogik einen gravierenden Mangel:
Aussagen lassen sich dabei streng genommen gar keine Wahrheitswerte zuordnen:
Denn wenn Aussagen und ihre Werte stufenabhängig sind, so ist auch die Aussage
„Aussage A hat in Stufe t den Wahrheitswert w“ selbst wieder stufenabhängig, usw.

Aber als intuitiver Logiker lasse ich mich von solchen „Kleinigkeiten“ nicht unterkriegen…

Hier mein Reparaturversuch:

Eine Aussage A hat weiter Wahrheitswerte je Stufe t,
diese sind aber vom Betrachtungshorizont d abhängig.

W(A,t,d) nimmt für d>t jeweils einen Wert aus w,u,-w an.
Für d>t ist W(A,t,d) konstant gleich W(A,t,t+1).
Falls W(A,t,t+1) = u gilt, gilt W(A,t,d)=u für alle d.
Für d<=t ist entweder W(A,t,d)= W(A,t,t+1) oder W(A,t,d) kann zusätzlich den Wert u annehmen, d.h. W(A,t,d) ist dann zweideutig.
Dies bedeutet, dass man in Formeln F(W(A,t,d)) jeweils zwei Werte für W(A,t,d) einsetzten muss.
Ergeben sie unterschiedliche Ergebnisse (z.B. w bzw. –w) ist für F(W(A,t,d)) der Wert u zu setzen.

Mit diesen (Ersetzungs-)Regeln kann man bei Kenntnis von W(A,t,d) in allen Formeln W(A,t,d) durch Wahrheitswerte w,u,-w ersetzen.
Die nach Substitution verbleibenden Formeln kann man nach klassisch-dreiwertiger Logik berechnen/auflösen.

W(U,t,d)=u für alle t und alle d: U ist die unbestimmte Aussage.
W(V,t,d)=w für alle t>0 und alle d>0: V ist die wahre Aussage.
( W(V,t,0) = u und W(V,0,d)=u für alle t und alle d )
W(N,t,d)=-w für alle t>0 und alle d>0: N ist die nichtwahre Aussage.

W(A,t,t+1) kann man abkürzend W(A,t) schreiben, denn dies ist der „Hauptwert“ von A in Stufe t.

Trotz identischer Hauptwerte können Aussagen verschieden sein:
Sei W(A1,t)=w und W(A2,t)=w für alle t.
Sei W(A1,1,1)=w und W(A2,1,1) = w und u

Sei F(A): = W(W(A,1,1)=w). Dann ist F(A1)= W(w=w)=w.
Und F(A2)= W(w=w) = w oder W(u=w) = -w, also F(A2)=u.

Gleichheit erhält man über doppelte Stufengleichheit:

Zwei Aussagen sind gleich, wenn sie in allen Stufen von allen Horizonten aus betrachtet gleiche Wahrheitswerte haben.

W( A1=A2 , t, d ) = w für alle t>0 und d>0 :<-> Für alle t und alle d gilt: W(A1,t,d) = W(A2,t,d).

Evtl. genügt auch die „schwache“ Wahrheit W( A1=A2 , t, d ) = w für alle t>0 und d>t.

Insgesamt ist die Lage leider komplizierter als gewünscht,
aber warum soll es der Logik besser ergehen als den übrigen Wissenschaften,
die meist nur auf der Ebene des „gesunden Menschenverstandes“ einfach sind?

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

Im alten Jahr noch ein wenig Stufenlogik:

Leider erinnert mich das ganze an Chemie (Atomschalen)
und ist viel umständlicher und komplizierter, als mir lieb ist.

Andererseits steckt weiter nur eine Grundidee dahinter,
deren Umsetzung nur schwieriger als gedacht ist,
aber da ich sie nun schon lange verfolge, gebe ich so leicht nicht auf.

Ich hatte ja schon W(A,t,d) als zweistufige Grundgröße der Stufenlogik geschrieben.

Statt W(A,t,d) könnte man auch W(W(A,t),d) schreiben, so wird der Zusammenhang mit den vorhergehenden Ansätzen deutlicher.

Warum genügen nun zwei (Meta-)Stufen und muss man nicht W(A,t1, t2, t3, … ) betrachten?

Nun, ich nehme an, dass die „äußeren“ Stufen nach oben blind sind,
und daher nach „innen“ abzugleichen sind , also absteigend sein müssen (außer zu t1):
D.h. W(W(W(A,t1), t2), t3) = W(W(W(A,t1), t3-1), t3) falls t2>=t3,
also z. B. W(W(W(A,9), 6), 5) = W(W(W(A,9), 4), 5).

Ist eine der äußeren Stufen 0, so setzt man t2=0.

Nach dem Abgleich können die Stufen bis auf t1 und t2 weggelassen werden.
Also z. B. W(W(W(A,9), 4), 5) = W(W(A,9),4).
Daher genügt es, zu Aussage A die Werte W(W(A,t),d) festzulegen.

Versuchen wir eine Beispielaussage:
„Diese Aussage L ist nicht wahr.“
Eine mögliche Abbildung in Doppelstufenlogik:
W(W(L,t+1),t+2) := W( W(L,t,t+1)=-w oder W(L,t,t+1)=u, t+2 )

W(W(L,0+1),0+2)= W( W(L,0,1)=-w oder W(L,0,1)=u, 2 ) = w (denn W(A,0,1)=u für alle A).

W(W(L,1+1),3)= W (W(L,1,2)=-w oder W(L,1,2)=u, 3 ) = -w

Also W(L,1,2)=w, W(L,2,3) = -w , W(L,3,4)=w , W(L,4,5) = -w , usw.

Oder die Russellmenge:
W(W(x e R, t+1), t+2) := W( W(x e x,t,t+1)=-w oder W(x e x,t,t+1)=u, t+2 )

W(R e R,1,2)= W( W(x e x,0,0+1)=-w oder W(x e x,0,0+1)=u, 0+2 ) = w (denn W(x e M,0,1)=u für alle x und M).

W(R e R,2,3)= -w ; W(R e R,3,4)= w usw.

Wir haben dabei zwar nur W(A,t+1,t+2) festgelegt, aber wg. W(A,0,d)=u sind damit die Hauptwerte W(A,t) für t=0,1,2,3,… festgelegt.

Z.B. bei W(A,t,t) wären noch Varianten denkbar,
dies muss ich vorläufig noch offenlassen.

Das war´s für dieses Jahr!

Gruß
Trestone