Trestone
Großmeister
- Registriert
- 12. April 2002
- Beiträge
- 887
Hallo,
wieder einmal renne ich mit und gegen die Windmühlenflügel der Logik an,
um einen (mir) neuen Ansatz zu testen: Chrono-Logik.
Die Idee dazu stammt u.a. aus der (Quanten-)Physik:
Wie Eigenschaften von Teilchen unbestimmt bleiben,
bis sie in einer (irreversiblen) Messung bestimmt werden,
will ich von unbestimmten Wahrheitswerten ausgehen,
bis sie durch einen "Denkakt" (irreversibel) festgelegt werden.
Dabei spielt nun zu jeder Aussage der Zeitpunkt eine Rolle,
auf den wir uns bei der Wahrheitswertfindung der Aussage beziehen.
Statt Zeitpunkten können wir uns auch Gedankenreihenfolgen vorstellen:
Beim ersten Nachdenken war eine Aussage vielleicht noch unbestimmt,
nach drei weiteren Gedanken erkennen wir sie dann als wahr.
Ab dann werden wir sie immer für wahr ansehen
(als perfekte Logiker, die wir sind …).
Nun die Grundprinzipien der Chrono-Logik:
W1: Aussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) kann jeweils einen der Werte w, -w, (w,-w) annehmen,
dabei steht der letzte für "unbestimmt".
(Das Prinzip W1 ist selbst eine (Meta-)Aussage, es ist ab t+1 w, für t=0 also ab t=1)
A0: Zum Zeitpunkt 0 sind alle Aussagen (w,-w) (d.h. unbestimmt).
(A0 ist ab t=1 w, zu t=0 wie alle andern auch unbestimmt)
A1: Aussagen können nicht nacheinander w und –w sein:
Fall W(A,t1)=w gibt es kein t2 mit W(A,t2)=-w. (A1 w ab 1+max t1,t2)
Folge: typische Aussagen sind zunächst für einige t unbestimmt und ab einem t1 dann stets wahr oder stets nicht wahr (oder stets unbestimmt).
Aussagen, die W1, A0 und A1 erfüllen, heißen chrono-logische Aussagen.
A2: Chronologiesatz:
Sind die Zeitpunkte t1<t2<t3<…<tn aufsteigend geordnet, und f ein aussagenlogischer Ausdruck
so ist die Gleichung W(An,tn) =w :<-> f(W(A1,t1), W(A2,t2), … , W(An-1,tn-1)) = w
durch eine chrono-logische Aussage An lösbar.
Beispiel:
1. W(An,2) =w :<-> f(W(A1,1)) = f((w,-w)) = w (dabei f die Konstante w)
1. Beispiel erfüllbar mit An gleich der ab 2 stets wahren Aussage.
2. W(An,1)=w :<-> f(W(A1,0))=w <-> f(w,-w)=w <-> (w,-w)=w (f=Identidät)
2. beispiel erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).
Beispiel Lügner Aussage:
W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).
W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w v W(An,0)=(w,-w)
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w), aber auch für W(An,1)=w.
Problematisch sind Aussagen über alle Zeitpunkte:
W(L,t0)=w :<-> Für alle t>0 gilt W(L,t)=-w oder W(L,t)=(w,-w)
Hier wäre die rechte Seite niemals vollständig bestimmbar,
wir müssten unendlich lange darüber nachdenken …
Solche Bestimmungsgleichungen sind daher (zunächst?) nicht zugelassen.
Eine chrono-logische Aussage, die nicht stets unbestimmt ist,
wird ja durch den kleinsten t-Wert charakterisiert, für den sie ihren bestimmten Wert annimmt.
Dadurch kann man die Ungleichheit von Aussagen bestimmen, wenn mindestens eine Aussage bestimmt ist:
W(A,t1)=w und W(B,t2)=-w dann W(A=B,max t1,t2 +1)=-w
W(A,t1)=w und W(B,t2)=(w,-w) und t2>t1 dann W(A=B, t2+1)=-w
Die Gleichheit ist z.T schwierig zu bestimmen, da man bei einer Gleichung nicht die gleichen Zeitpunkte auf beiden Seiten nutzen darf (wir können meist nur den Wert von entweder A oder B zu t1 bestimmen und das nicht zugleich tun).
Metaaussagen:
Gewöhnlich gilt: W(A)=w dann auch W(W(A)=w) = w.
In Chrono-Logik benötigt jeder Denkakt einen eigenen Zeitpunkt.
Aus W(A,t1)=w folgt, dass t1 belegt ist (zumindest wenn t1 minimal ist) und somit W((A,t1)=w,t1) = (w,-w) , danach für t2>t1: W((A,t1)=w,t2) = w.
Ökonomie-(Minimum)prinzip:
Wurde einmal ein Wahrheitswert W(A,t1) ungleich (w,-w) ermittelt, so wird zu späteren Zeitpunkten t2 nur noch der Erinnerungswert von t1 benutzt und der Wert nicht neu bestimmt.
Folge für Metaaussagen: t1<t2<t3: W(W(A,t3)=w,t2) = W(W(A,t1)=w,t2) = w.
Anwendung auf Mengenlehre:
x e R :<-> x –e x
Jetzt: W(x e R,t+1)= w : <-> W(x e x, t )= -w
Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> möglich.
Verschärft: W(x e R,t+1)= w : <-> ( W(x e x, t )= -w oder W(x e x, t )=(w,-w) )
Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> W(R e R, t+1) = w (möglich, nur einmalig)
Also W(R e R,t) = w für t>0. Also Russellmenge chrono-logisch wohl möglich.
Cantorbijektion zur Potenzmenge:
Sei f: M -> P(M) eine bijektive Abbildung einer Menge M auf ihre Potenzmenge
(= Menge aller Teilmengen von M).
Wir bilden folgende Teilmenge von M:
Mf: x e Mf :<-> x –e f(x)
Chrono-logisch: W(x e Mf, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w
Sei f(x0)=Mf, dh x0 Urbild zu Mf.
1. Fall: W(x0 e f(x0),t) = w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x0 e f(x0),t) = -w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x0 e f(x0),t) = (w,-w) -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) möglich
2. Teilmenge: Mg: x e Mg :<-> x –e f(x) oder x (e,-e) f(x)
W(x e Mg, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w oder W(x e f(x),t) = (w,-w)
Sei f(x2)=Mg, dh x2 Urbild zu Mg.
1. Fall: W(x2 e f(x2),t) = w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x2 e f(x2),t) = -w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x2 e f(x2),t) = (w,-w) -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w möglich (einmalig)
Also Bijektion zwischen Menge und Potenzmenge chrono-logisch wohl möglich.
Wohl noch nicht ganz ausgegoren,
aber die Richtung ist hoffentlich erkennbar.
Rückmeldungen willkommen (auch Widersprüche)!
Gruß
Trestone
wieder einmal renne ich mit und gegen die Windmühlenflügel der Logik an,
um einen (mir) neuen Ansatz zu testen: Chrono-Logik.
Die Idee dazu stammt u.a. aus der (Quanten-)Physik:
Wie Eigenschaften von Teilchen unbestimmt bleiben,
bis sie in einer (irreversiblen) Messung bestimmt werden,
will ich von unbestimmten Wahrheitswerten ausgehen,
bis sie durch einen "Denkakt" (irreversibel) festgelegt werden.
Dabei spielt nun zu jeder Aussage der Zeitpunkt eine Rolle,
auf den wir uns bei der Wahrheitswertfindung der Aussage beziehen.
Statt Zeitpunkten können wir uns auch Gedankenreihenfolgen vorstellen:
Beim ersten Nachdenken war eine Aussage vielleicht noch unbestimmt,
nach drei weiteren Gedanken erkennen wir sie dann als wahr.
Ab dann werden wir sie immer für wahr ansehen
(als perfekte Logiker, die wir sind …).
Nun die Grundprinzipien der Chrono-Logik:
W1: Aussagen A haben zu jedem Zeitpunkt t Wahrheitswerte W(A,t).
W(A,t) kann jeweils einen der Werte w, -w, (w,-w) annehmen,
dabei steht der letzte für "unbestimmt".
(Das Prinzip W1 ist selbst eine (Meta-)Aussage, es ist ab t+1 w, für t=0 also ab t=1)
A0: Zum Zeitpunkt 0 sind alle Aussagen (w,-w) (d.h. unbestimmt).
(A0 ist ab t=1 w, zu t=0 wie alle andern auch unbestimmt)
A1: Aussagen können nicht nacheinander w und –w sein:
Fall W(A,t1)=w gibt es kein t2 mit W(A,t2)=-w. (A1 w ab 1+max t1,t2)
Folge: typische Aussagen sind zunächst für einige t unbestimmt und ab einem t1 dann stets wahr oder stets nicht wahr (oder stets unbestimmt).
Aussagen, die W1, A0 und A1 erfüllen, heißen chrono-logische Aussagen.
A2: Chronologiesatz:
Sind die Zeitpunkte t1<t2<t3<…<tn aufsteigend geordnet, und f ein aussagenlogischer Ausdruck
so ist die Gleichung W(An,tn) =w :<-> f(W(A1,t1), W(A2,t2), … , W(An-1,tn-1)) = w
durch eine chrono-logische Aussage An lösbar.
Beispiel:
1. W(An,2) =w :<-> f(W(A1,1)) = f((w,-w)) = w (dabei f die Konstante w)
1. Beispiel erfüllbar mit An gleich der ab 2 stets wahren Aussage.
2. W(An,1)=w :<-> f(W(A1,0))=w <-> f(w,-w)=w <-> (w,-w)=w (f=Identidät)
2. beispiel erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).
Beispiel Lügner Aussage:
W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w).
W(An,1) = w :<-> W(An,0)=-w v W(An,0)=(w,-w)
Erfüllbar für W(An,1)=(w,-w), aber auch für W(An,1)=w.
Problematisch sind Aussagen über alle Zeitpunkte:
W(L,t0)=w :<-> Für alle t>0 gilt W(L,t)=-w oder W(L,t)=(w,-w)
Hier wäre die rechte Seite niemals vollständig bestimmbar,
wir müssten unendlich lange darüber nachdenken …
Solche Bestimmungsgleichungen sind daher (zunächst?) nicht zugelassen.
Eine chrono-logische Aussage, die nicht stets unbestimmt ist,
wird ja durch den kleinsten t-Wert charakterisiert, für den sie ihren bestimmten Wert annimmt.
Dadurch kann man die Ungleichheit von Aussagen bestimmen, wenn mindestens eine Aussage bestimmt ist:
W(A,t1)=w und W(B,t2)=-w dann W(A=B,max t1,t2 +1)=-w
W(A,t1)=w und W(B,t2)=(w,-w) und t2>t1 dann W(A=B, t2+1)=-w
Die Gleichheit ist z.T schwierig zu bestimmen, da man bei einer Gleichung nicht die gleichen Zeitpunkte auf beiden Seiten nutzen darf (wir können meist nur den Wert von entweder A oder B zu t1 bestimmen und das nicht zugleich tun).
Metaaussagen:
Gewöhnlich gilt: W(A)=w dann auch W(W(A)=w) = w.
In Chrono-Logik benötigt jeder Denkakt einen eigenen Zeitpunkt.
Aus W(A,t1)=w folgt, dass t1 belegt ist (zumindest wenn t1 minimal ist) und somit W((A,t1)=w,t1) = (w,-w) , danach für t2>t1: W((A,t1)=w,t2) = w.
Ökonomie-(Minimum)prinzip:
Wurde einmal ein Wahrheitswert W(A,t1) ungleich (w,-w) ermittelt, so wird zu späteren Zeitpunkten t2 nur noch der Erinnerungswert von t1 benutzt und der Wert nicht neu bestimmt.
Folge für Metaaussagen: t1<t2<t3: W(W(A,t3)=w,t2) = W(W(A,t1)=w,t2) = w.
Anwendung auf Mengenlehre:
x e R :<-> x –e x
Jetzt: W(x e R,t+1)= w : <-> W(x e x, t )= -w
Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> möglich.
Verschärft: W(x e R,t+1)= w : <-> ( W(x e x, t )= -w oder W(x e x, t )=(w,-w) )
Ann. W(R e R, t) = -w -> W(R e R, t+1) = w -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = w -> W(R e R, t+1) = -w oder (w,-w) -> Widerspruch zu Konstanz!
Ann. W(R e R, t) = (w,-w) -> W(R e R, t+1) = w (möglich, nur einmalig)
Also W(R e R,t) = w für t>0. Also Russellmenge chrono-logisch wohl möglich.
Cantorbijektion zur Potenzmenge:
Sei f: M -> P(M) eine bijektive Abbildung einer Menge M auf ihre Potenzmenge
(= Menge aller Teilmengen von M).
Wir bilden folgende Teilmenge von M:
Mf: x e Mf :<-> x –e f(x)
Chrono-logisch: W(x e Mf, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w
Sei f(x0)=Mf, dh x0 Urbild zu Mf.
1. Fall: W(x0 e f(x0),t) = w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x0 e f(x0),t) = -w -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x0 e f(x0),t) = (w,-w) -> W(x0 e Mf=f(x0), t+1)= -w oder (w,-w) möglich
2. Teilmenge: Mg: x e Mg :<-> x –e f(x) oder x (e,-e) f(x)
W(x e Mg, t+1)=w <-> W(x e f(x),t) = -w oder W(x e f(x),t) = (w,-w)
Sei f(x2)=Mg, dh x2 Urbild zu Mg.
1. Fall: W(x2 e f(x2),t) = w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= -w oder (w,-w) Widerspruch!
2. Fall: W(x2 e f(x2),t) = -w -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w Widerspruch!
3. Fall: W(x2 e f(x2),t) = (w,-w) -> W(x2 e Mg=f(x2), t+1)= w möglich (einmalig)
Also Bijektion zwischen Menge und Potenzmenge chrono-logisch wohl möglich.
Wohl noch nicht ganz ausgegoren,
aber die Richtung ist hoffentlich erkennbar.
Rückmeldungen willkommen (auch Widersprüche)!
Gruß
Trestone