Addition, Multiplikation, Potenz, ???

[cadaei]

Ich hab mir mal überlegt, dass es drei Gruppen von Rechenarten gibt, jeweils positiv und negativ.
Zu der positiven Gruppe gehören die Addition, die Multiplikation und die Potenz.
Die Gegenstücke sind die Subtraktion, Division und das Radizieren.
Die Multiplikation 4*3 kann man auch als Summe ausdrücken:

4+4+4

Die Potenz 4^3 kann ich auch als Produkt ausdrücken:

4*4*4

was ich wieder als Summe ausdrücken kann:

4+4+4+4 +4+4+4+4 +4+4+4+4 +4+4+4+4

Bei den "Gegenstücken" sieht das alles natürlich komplizierter aus, spielt hier aber keine Rolle.

Nun meine Frage: Gibt es eine Rechenart, die den nächsten Schritt nach dem Potenzieren darstellt?
Sie müsste wie folgt aussehen: 4#3 (das # ist erfunden und soll das Zeichen der Rechenart darstellen).
4#3 könnte wieder ausgedrückt werden durch:

4^4^4

Was wieder wäre:

4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4 *4*4*4*4

Was auch darstellbar wäre durch:

4+4+4+4+ ... +4

Gibt es so eine Rechenart? Gibt es eine weitere Stufe ins "nagative", also nach dem Radizieren?

 

[tsuribito]

Subtraktion und Division sind keine wirklichen eigenen Rechenarten.
Die Subtraktion ist ein Sonderfall der Addition, genau wie die Division auf die Multiplikation zurückgeführt werden kann.

 

[Toxo]

4^4^4 = 4*4*4*4*4*4*4*4*4*4*4*4*4*4*4*4
Du bist da ein paar" *4"`s übers zieh geschossen.. Aber interessanter Gedanke, ich glaube daber nicht das es noch etwas standarisiertes "über" der Potenz gibt. Das ganze ist ja auch jeweils eine abkürzung für die Schreibweise eines Ausdrucks "eine Stufe tiefer", d.h. wenn eine Verknüpfung soundsoviel mal auf das selbe element angewandt wird. die Potenzen 4^4^4 lassen sich ja als 4^16 mit dem selben Operator(^) und dem selben Ausgangselement (4) zusammen fassen, ohne das der ausdruck länger wird (was bei 4*4*4 nicht geht ohne z.b. die 4 zuverändern, daher die Potenz). vielleicht verwendet sogar der ein oder andere ein bestimmtes zeichen, aber sowas findet man eigentlich in keinem uniskript oder `nem Taschenrechner, die ichbisher gesehen hab.

 

[cadaei]

@ toxo: Stimmt, ich habe mich von der großen Anzahl hinreißen lassen und einfach (4*4*4*4) 16 Mal mit Strg + V eingefügt, ist natürlich zuviel.

Dass man 4^4^4 auch als 4^16 darstellen kann, ist klar. Wenn man in einer Stufe mit kleinen Zahlen arbeitet, kann man sie leicht in der Stufe drunter zeigen (2*3=2+2+2), ohne dass es viel länger wird.
Wenn ich jetzt aber 5*60 habe, wäre es viel arbeit, dies als Addition aufzuschreiben, deshalb gibt es die Multiplikation. Auf die "Überpotenz" bezogen würde sie nur Sinn machen, wenn man auch eine so große Zahl darstellen will, z.B. 40^40^40^40^40^40^40 wäre einfach 40#7. Als Potenz dargestellt würde es eine GROßE Zahl ergeben .

@tsuribito: Ich habe ja auch von drei Rechenarten gesprochen, nicht von sechs, und die Subtrakt- und Division als "negativ" zu der Addi- und Multiplikation dargestellt.

 

[tsuribito]

Ach so meintest du das
Mathematik ist natürlich zu einem grossen Teil Definitionssache und du könntest das schreiben aber man versucht es sich doch immer so einfach wie möglich zu machen.

 

[Mother_Shabubu]

Auf die "Überpotenz" bezogen würde sie nur Sinn machen, wenn man auch eine so große Zahl darstellen will, z.B. 40^40^40^40^40^40^40 wäre einfach 40#7. Als Potenz dargestellt würde es eine GROßE Zahl ergeben .

Vermutlich gibt es die "Überpotenz" nicht, weil wir für so große Zahlen keine Verwendung haben. Wenn Du Lust hast, kannst Du natürlich versuchen, Rechenregeln für diese "Überpotenzen" herauszufinden. Sie müssen nur mit den übrigen Gesetzen der Mathematik in Einklang stehen und vielleicht findet irgendwann jemand eine praktische Anwendung dafür.
@Toxo:4^4^4 kann ich aber nur dann als 4^16 schreiben, wenn ich 4^4^4 als (4^4)^4 definiere. Wenn ich 4^4^4 als 4^(4^4) definiere, ist die Kurzform 4^256.

 

[cadaei]

@Mother_Shabubu: Danke für deinen Hinweis, aber jetzt versteh ich gerade gar nichts mehr. Wie bin ich drauf gekommen, dass 4^4^4 = 4^64 ist? Vermutlich nur 4^4^3 gerechnet, ok. Ich habe mir aber mal als Regel gedacht, dass in der "positiven" (gibts dafür einen offiziellen Namen?) Rechenartgruppe egal ist, an welcher Stelle ich die einzelnen Teile setze, Bsp: 4+3=3+4, 5*7=7*5, usw.
Für das Potenzieren trifft das aber nicht mehr zu... komisch. Deshalb habe ich auch die Klammern weggelassen. Ich habe es mit 2^2^2 getestet, weil so kleine schöne Zahlen sind. 2^2^2=4^2=2^4 und hab mich rausbringen lassen. Aber du hast recht, man muss Klammern setzen.

 

[Gurke]

Hmm, Doppelkreuz steht eigentlich für Nummer, denke auch für Anzahl.

 

[Gorgona]

HIIIIIIIIIIIIIILFE!

ICH BIN IN EINEM FORUM VOLLER EIERKÖPFE!

(Ist nur der Neid der Besitzlosen )

 

[Zerch]

nur arabische kabbalisten....mehr nicht

 

[dimbo]

Nun meine Frage: Gibt es eine Rechenart, die den nächsten Schritt nach dem Potenzieren darstellt?

Rechenart fällt mir keine ein. Wenn es dir aber lediglich um eine Struktur zum Berechenen der dritten Potenz einer Zahl geht, liegt in der Dreieckszahl eine Möglichkeit zur Lösung des Problems.

 

[puerk]

ne zahl über gogolplex wird nie gebraucht werden (10^1000)
im universum gibt es weniger als 20^100 atome(ungefähr 10^hundertpaarunddreissig)
die zahl 40#7 die du vorschlägst wäre soooooo unnütz!
ich hab 40#7 so verstanden: (((((40^40)^40)^40)^40)^40)^40
darauf basieren die rechnungen unten

ne praktische anwendung einer zahl die um dutzende zehnerpotenzen hoher ist als die anzahl aller bisher bekannten teilchen inklusive aller neutrinos( gibt allein in einem cm² fläche pro sekunde 1billarde neutrinos die durchfliegen(aber nur weil wir so nah an der sonne sind!)

unsere sonne emittiert in ihrer gesamten lebensdauer ungefähr 1.88*10^41 neutrinos
selbst wenn es im universum 10^50 sonnen gäbe(gibts nich mal annähernd) wären das 1.88*10^91 neutrinos nahc deren gesamter lebens zeit
nehmen wir an die sonnen zahl wäre konstant
und unser universum ist 50 mrd jahre alt(ich weiss die wirklich zahl leider nicht mehr könnte so bei 20 mrd liegen)
wären bisher 10^101,7 neutrinos entstanden und das ist immer noch um die potenz 10^7,81 zu klein
also (10^101,7)^(10^7,81) = ca 40#7
also 10^(10^9.817)=40^(40^6)
10^(6561452663)= 40^(4096000000)

niemand bräuchte solche zahlen nicht mal gott um zu zählen wieviele photonen er schon überlebt hat(in unserem universum)

 

[antimagnet]

naja, mathematiker rechnen doch auch "mit unendlich".

dagegen ist gogoolplex richtig klein...

dachte auch imer, gogool sei 10^10^10, wobei ich nicht weiß, wo die klammer zu setzen ist - aber ich denke mal es ist so gemeint:
10^(10^10), also eine 1 mit 10 milliarden nullen.

gogoolplex ist 10^gogool, so viel ich weiß, also eine 1 mit gogool nullen.



oh mein gott, das ist ganz schön viel...

 

[Lyle]

Bevor ihr zu viele Klammern setzt: (Blickt ja keiner mehr durch)
(a^b)^c=a^(b*c)

 

[yoshware]

Wie Lyle schon angedeutet hat, ist das ja nur wieder eine Verknüpfung von Potenzierung mit der Multiplikation.
Im wesentlichen gibt es also nach der Potenzierung nichts mehr, weil es das schon gibt.

 

[Mother_Shabubu]

@Mother_Shabubu: Danke für deinen Hinweis, aber jetzt versteh ich gerade gar nichts mehr. Wie bin ich drauf gekommen, dass 4^4^4 = 4^64 ist? Vermutlich nur 4^4^3 gerechnet, ok. Ich habe mir aber mal als Regel gedacht, dass in der "positiven" (gibts dafür einen offiziellen Namen?) Rechenartgruppe egal ist, an welcher Stelle ich die einzelnen Teile setze, Bsp: 4+3=3+4, 5*7=7*5, usw.
Für das Potenzieren trifft das aber nicht mehr zu... komisch. Deshalb habe ich auch die Klammern weggelassen. Ich habe es mit 2^2^2 getestet, weil so kleine schöne Zahlen sind. 2^2^2=4^2=2^4 und hab mich rausbringen lassen. Aber du hast recht, man muss Klammern setzen.

Du meinst das Kommutativgesetz. Das gilt tatsächlich nur für Addition und Multiplikation.
Anschaulich kann man das so erklären: Es ist egal, ob ich zuerst drei Meter und dann vier Meter gehe oder umgekehrt, ich habe in jedem Fall sieben Meter zurückgelegt. Genauso ist es egal, ob ein Zimmer drei Meter lang ist und vier Meter breit oder umgekehrt, die Fläche beträgt immer 12 m². Bzw., wenn man die Multiplikation als wiederholte Addition betrachtet, so ergibt ein Faktor den Summanden und der andere, wie oft der Summand in der Summe erscheint.
Beim Potenzieren kann man Basis und Exponent nicht mehr vertauschen: 3^4!=4^3, da 3*3*3*3!=4*4*4. Wenn man nämlich die Primfaktoren beider Ergebnisse betrachtet, so bekommt man im einen Fall 3*3*3*3 und im anderen 2*2*2*2*2*2, also völlig verschiedene Zahlen.
Zu den Klammern: Eigentlich ist gar nicht definiert, wie 4^4^4 berechnet wird, also ob man von links nach rechts oder umgekehrt vorgeht. Die meisten Rechner gehen von links nach rechts, also (4^4)^4.
@antimagnet: Ein Googol ist "nur" 10^100. Googolplex ist 10^Googol, das stimmt.

 

[cadaei]

Wie Lyle schon angedeutet hat, ist das ja nur wieder eine Verknüpfung von Potenzierung mit der Multiplikation.
Im wesentlichen gibt es also nach der Potenzierung nichts mehr, weil es das schon gibt.

Ich meinte in meinem ersten Post, als ich das Kommutativgesetz noch nicht kannte für a^a^a -> a^(a^a), was man nicht ohen weiteres mit der Multiplikation darstellen kann. Das gleiche wäre, eine Potenz mit einer Summe darzustellen.

Rechenart fällt mir keine ein. Wenn es dir aber lediglich um eine Struktur zum Berechenen der dritten Potenz einer Zahl geht, liegt in der Dreieckszahl eine Möglichkeit zur Lösung des Problems.

Hmm, dritte Potenz, also a³? Das hab ich nicht gemeint.

 

[antimagnet]

gogool ist echt bloß 10^100...

ist ja voll wenig...

10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

das war`s schon...

und gogoolplex ist dann 10^10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.
000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000, aber das erspar ich euch...

das problem bei cadaeis forderung nach einer neuen rechenart ist, dass man nur x^x^x, aber nicht x^y^z rechnen kann.

ist mir grad so eingefallen. schätze, das ist nicht gut für eine rechenart, wenn sie so eingeschränkt ist...

und kann man eigentlich nicht jede rechenart im endeffekt als summe darstellen?

 

[cadaei]

Das von dir genannte "Problem" ist sogar Vorraussetzung, da alle Rechenerten so aufgebaut sind.
Mit der Multiplikation 3*5 kann ich "nur" 5+5+5 darstellen und nicht 4+5+6
Mit der Potenz 3^5 kann ich "nur" 3*3*3*3*3 darstellen und nicht 2*3*4*5*6
Mit der "Überpotenz" 3#5 kann ich nur 3^(3^3) darstellen und nicht 2^(3^4)

Du siehst, die "Überpotenz" folgt genau der Regel, der alle anderen Rechenarten auch folgen.

Man kann die Potenz und Multiplikation als Summe darstellen, die Subtraktion auch (obwohl es dann ja Subtraktion heißt), beim Dividieren bin ich mir nicht sicher, beim Radizieren noch weniger.

 

[antimagnet]

Du siehst, die "Überpotenz" folgt genau der Regel, der alle anderen Rechenarten auch folgen.

hast recht...

beim Dividieren bin ich mir nicht sicher

da hab ich mir was schönes ausgedacht:

56*382 ist als summe: 56+56+56...+56, insgesamt 382mal (geht ja auch umgekehrt)

56/382 ist 1/382+1/382+1/382...+1/382, und das 56mal (die lösung ist dann halt sechsundfünfzig dreihundertzweiundachtzigstel, wer sagt denn, dass man das ausrechnen muss.)

beim radizieren?



logarithmieren gibts ja auch noch...



aber eigentlich finde ich deine idee nicht schlecht. kannst dich ja mal an ableitungsregeln versuchen....