Irrationalität der Wurzel 2? - virtuelle Zahlen?

[Trestone]

Hallo,

schon die alten Griechen haben sich ja überlegt,
dass die Quadratwurzel aus 2 kein rationaler Bruch sein kann
(und waren sehr erstaunt darüber).

Ich möchte nun untersuchen, welche Voraussetzungen eigentlich in diesen Beweis eingehen,
denn z.B. in der Quantenphysik hat man inzwischen einige sehr allgemeingültige Anschauungen (fast Axiome) stark modifiziert:
Ein Körper kan zu einer Zeit nur an einem Ort sein -
in: Ein Körper kann zu einer Zeit nur an einem Ort gemessen werden,
zu "nichtgemessenen" Zeiten können Körper virtuell auch zugleich an mehreren Orten sein. (vgl. Doppelspaltexperiment).

Ich vermute, dass wir bei berühmten Widerspruchsbeweisen wie dem zur Quadratwurzel 2 auch auf solche "virtuellen" Elemente stoßen,
denen wir vielleicht etwas voreilig die Eigenschaften unserer vertrauten Elemente unterstellen.

Nun zum Beweis:
Nehmen wir an, es gebe einen Bruch a/b mit (a/b)**2 = 2.
Dabei sei a/b ein vollständig gekürzter Bruch, d.h. a und b haben keine gemeinsamen Teiler und sind natürliche Zahlen.
Wir multiplizieren beide Seiten mit b**2:
a*a = 2*b*b
Da die rechte Seite 2 als Faktor enthält, muss auch a den Faktor 2 enthalten, insgesamt hat die linke Seite daher mindestens den Faktor 4.
Da b teilerfremd zu a ist kann b nicht mehr den Faktor 2 enthalten,
was uns zu einem Widerspruch bringt.

Wo in dem Beweis stecken nun "virtuelle" Elemente?

Nun, schon a und b sind hypothetisch und nicht konkret.
Daher ist z.B. die Annahme der Kürzbarkeit in einem solchen "virtuellen" Bruch nicht gesichert.
Auch ob eine eindeutige Darstellung a/b existiert, erscheint mir nicht gesichert.

Was wir bewiesen haben: Mit konkreten Brüchen a/b ist Wurzel 2 nicht daerstellbar - mit virtuellen Brüchen (was immer das wäre) aber vielleicht doch...

(Geht analog übrigens bestimmt auch mit dem Beweis zur (scheinbaren) Überabzählbarkeit der reelen Zahlen)

Fehlt nur noch eine etwas ausgearbeitetere Darstellung der virtuellen Zahlen und ihrer Eigenschaften ...

Gruß
Trestone

 

[Quakle]

Könnte allerdings auch daran liegen, das du as Wurzel 2 keinen Bruch bilden kannst, da es kein bruch ist. Eine Wurzel wird immer aus 2 (Wenn wir jetzt von der Quadratwurtzel sprechen) zahlen gleichen Wertes in der Multiplikation gebildet, sprich Wurzel = a * a!
Wie soll ich daraus einen Bruch bilden ??? Was schwebt dir da so vor etwa so etwas:
Wurzel
-------- = 1
a*a

oder habe ich jetzt etwas ganz falsch verstanden?

 

[Trestone]

Hallo,

mit dem Bruch als Wurzel aus 2 meine ich
z.B. a/b mit a/b * a/b = 2 .

Eine Näherungslösung ist z.B. 140/99 aber das Quadrat dieses Bruches ist nicht 2 sondern 1,999795...

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

mit dem Bruch als Wurzel aus 2 meine ich
z.B. a/b mit a/b * a/b = 2 .

Eine Näherungslösung ist z.B. 140/99 aber das Quadrat dieses Bruches ist nicht 2 sondern 1,999795...

Gruß
Trestone

 

[Giacomo_S]

Ehrlich gesagt Trestone ... mir ist nicht ganz klar, wieso Du laufend angebliche mathematisch-philosophische Probleme ins Spiel bringst, die oft bereits seit der Antike als gelöst zu betrachten sind.
Den Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 führte bereits Euklid (635-600 v.Chr.), und zwar ganz ohne Quantenphysik und "virtuelle" Zahlen ins Spiel zu bringen.

 

[Trestone]

Hallo,

genau auf Euklid und seinen Beweis wollte ich mich ja beziehen.
Aber jeder Beweis hat Voraussetzungen - und gerade die nicht explizit ausgesprochenen finde ich spannend
und es macht mir Freude, dabei Alternativen zu erproben.

Fast gilt: Je anerkannter eine Folgerung zu sein scheint, umso größer mein Ansporn, sie zum Wanken zu bringen...

Zudem gilt: Das Schöne an "Geisteswissenschaften" wie der Mathematik der reellen Zahlen
oder der natürlichen Zahlen mit Arithmetik/Unendlichkeit ist,
dass sie ohne direkten Bezug zur Realität sind:
So zwingen uns keine Messergebnisse zur Änderung unserer Axiome - sondern letztlich nur wir uns selbst.
Welche Mathematik oder Logik wir für angemessen halten, liegt also zu einem Großteil an uns.
Und ich persönlich bin mit der vorherrschenden zeitgenössischen Mathematik und Logik nicht sonderlich zufrieden, die mir solche seltsamen Folgerungen wie verschiedene Arten von Unendlichkeit, Gödels Unvollständigkeitssatz und das Lügnerparadoxon zumutet.

Meine Idee ist nun, die Widersprüche analog der Quantentheorie in eine virtuelle Zwischenwelt zu packen, in der andere Axiome gelten -
und dafür hoffentlich die Axiome für die "realen" Anteile sogar wieder einfacher und einleuchtender machen zu können.

Also eine umfassende Zwei-Weltentheorie mit Realwelt und Veränderungs-/Möglichkeitswelt.
Ähnlich wie Wachen und Träumen, wobei sich die Träume ja auch auf die Wachwelt auswirken können (und umgekehrt).

Mathematik mit Traumanteil, dass hätte ich mir nie träumen lassen ...

Gruß
Trestone

 

[MadCow]

Du benennst hier eigentlich nur etwas als virtuell was man normal einfach als Annahme bezeichnet.

Die Kürzbarkeit steckt in der Annahme (a,b in ganzen zahlen) drin und muss deswegen nicht weiter gesichert werden.

Sollte die Kürzbarkeit bei irgendwelchen hypothetischen Zahlen nicht gesichert sein gilt der Beweis einfach nicht und die Wurzel aus dieser Zahl ist eventuell nicht irrational.

 

[Trestone]

Die Kürzbarkeit steckt in der Annahme (a,b in ganzen zahlen) drin und muss deswegen nicht weiter gesichert werden.

Sollte die Kürzbarkeit bei irgendwelchen hypothetischen Zahlen nicht gesichert sein gilt der Beweis einfach nicht und die Wurzel aus dieser Zahl ist eventuell nicht irrational.

Hallo,

genau das ist mein Punkt:

Ist obige Annahme im Beweis sinnvoll oder erhalten wir vielleicht eine "schönere" Mathematik (z.B. ohne Irrationalzahlen), wenn wir im Reich der Hypothesen und Annahmen andere Gesetze (analog denen zu virtuellen Teilchen in der Quantenphysik) gelten lassen?

Ich sage nicht, dass die klassischen Beweise falsch sind, sondern dass ihre impliziten Voraussetzungen mir angreifbar erscheinen.
Unter geänderten Voraussetzungen gelten die Beweise und ihre Folgerungen dann natürlich nicht mehr - darauf will ich ja hinaus!


Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

ich versuche einmal etwas konkreter zu werden.

(Übrigens scheinen unter dem Stichwort "parakonsistente" Logik und Mengenlehre auch "Professionelle" ähnliche Ideen zu entwickeln, leider habe ich aber bisher dazu nur Übersichtsartikel fast ohne Details gefunden.)

Aber ich habe sowieso mehr Spaß als Autodidakt:

Ich nehme an, es gibt zwei Arten von Mengen:

A) Die "konkreten" Mengen a la Cantor, die etwas entweder als Elemet enthalten oder eben nicht.
Beispiele sind die leere Menge und endliche Mengen, also v.a. die uns aus dem Alltag vertrauten Mengen.

B) Die "virtuellen" Mengen a la Trestone, die in gewisser Weise "unscharf" sind, da sie mindestens ein Elemet enthalten, das sie zugleich auch nicht enthalten.
Ein Beispiel hierzu ist die Russellmenge R:= {x : x -e x} mit dem virtuellen Element R.

Für beide Mengentypen gelten nun unterschiedliche Gesetze, bei A) wäre x e M und zugleich x -e M ein Widerspruch, bei B) nicht.

Natürlich hoffe ich, dass sich A) und B) voneinander abgrenzen lassen und nicht alles letztlich unter B) fällt, ja dass A) und B) disjunkt sind.

Nun können wir ganz einfache Grundaxiome aufstellen:

(Als mögliche Elemente betrachte ich nur Mengen (aller Typen))

Axiom A1 Extensionalität:

Zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Mengen als Elemente enthalten und die gleichen Mengen als Elemente nicht enthalten.

M1 = M2 :<-> Für alle x: (x e M1 <-> x e M2) und (x -e M1 <-> x -e M2)

Axiom A2 Existenz:

Zu jeder Eigenschaft A von Mengen gibt es genau eine Menge M,
die genau die Mengen x als Elemente enthält, die diese Eigenschaft A besitzen und die die Mengen y nicht als Elemente enthält, die die Eigenschaft A nicht besitzen.

M = { x : x besitzt die Eigenschaft A } und y -e M, falls y besitzt nicht die Eigenschaft A.

(Ist A eine virtuelle Eigenschaft die eine Menge x sowohl besitzt als auch nicht besitzt, so ist die damit definierte Menge virtuell.)

Beispielmengen:

0 := { x : x ungleich x } und y -e 0, falls x gleich x.
0 ist die leere menge und besitzt keine Elemente (und alle Mengen als Nichtelemente).

All:= { x : x gleich x } und y -e All, falls x ungleich x.
All ist die volle Allmenge aller Mengen und besitzt jede Menge als Element und keine als Nichtelement.

Hier begegnen wir der ersten Menge, die in der klassischen Mengenlehre (z.B. ZFC) so nicht möglich wäre, obwohl sie uns intuitiv plausibel vorkommt.

Beide Mengen verhalten sich "konkret", dh sie haben keine "virtuellen Elemente.

Analog gilt dies wohl auch für endliche Mengen (M:= {x: x=a oder x=b} ...).

D.h. die exotischen Mengen scheinen ähnlich wie die exotischen Effekte in der Physik v.a. bei sehr großen oder sehr komplizierten Mengen aufzutreten - und kaum in unserer Alltagswelt.

Die Russellmenge R:={x : x -e x} hatte ich ja schon als ein echt exotisches und virtuelles Beispiel genannt.

Die große Herausforderung ist nun, wie man die beiden Mengenbereiche unterscheiden kann, um jeweils zu wissen, wo man sich bewegt und welche Regeln anzuwenden sind.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Mit Axiom A2 sind die Besonderheiten weitgehend in die Logik verlegt worden:

Von der Formulierung her, können wir fast naive Cantorsche Mengenlehre treiben,
nur dass x e M und x -e M auch manchmal zugleich gelten können,
nämlich wenn die Eigenschaft A(x) zugleich zutrifft (oder wahr ist) und nicht zutrifft (nicht wahr ist).

Die Eigenschaft "x -e x" haben wir bei der Russellmenge R schon als eine solche "parakonsistente" Eigenschaft kennengelernt.

In dieser Mengenlehre gehe ich also erst einmal von der Existenz aller nach Axiom 2 gebildeten Mengen aus,
allerdings sind für eine Menge nicht nur ihre Elemente entscheidend, sondern auch ihre Nichtelemente -
und das Spannende ist, dass es Elemente geben kann, die zugleich Nichtelemente sind.

Dadurch kommen wir hoffentlich mit viel weniger Axiomen aus,
als z.B in der sehr verbreiteten ZFC-Mengenlehre.
Allerdings erhalten wir auch eine andere Mathematik:
Denn z.B. der berühmte Widerspruchsbeweis von Cantor zur Überabzählbarkeit ergibt ein anderes Ergebnis:

Sei M eine Menge und P ihre Potenzmenge (Menge aller Teilmengen von M).

Angenommen, es gibt eine bijektive Abbildung f von M auf P.

Nun betrachten wir die Menge Af := { x: x e M und x -e f(x) }
also x e Af := <-> (x e M und x -e f(x)) ist wahr und
x -e Af := <-> (x e M und x -e f(x)) ist nicht wahr .

Af ist eine Teilmenge von M, hat also ein Urbild x0 in M unter f mit f(x0)=Af.
Nun untersuchen wir das Verhältnis von x0 zu Af:
1. Fall: x0 -e Af ( =f(x0) ). Also gilt: x0 e M und x0 -e Af, damit gilt nach Definition von Af auch x0 e Af.

2 Fall: x0 e Af ( =f(x0) ). Nach Definition von Af gilt nun x0 e M und x0 -e f(x0), also auch x0 -e Af.

In beiden Fällen ist x0 also "virtuelles" oder "parakonsistentes" Element von Af.

Unser Ergebnis ist also:
Wenn es zwischen einer Menge M und ihrer Potenzmenge P eine Bijektion gibt,
dann besitzt P eine parakonsistente Teilmenge A,
dh eine Teilmenge A mit einem Elemet x für das x e A und x -e A zugleich wahr ist.

Nehmen wir als Menge M die Allmenge All, so ist offensichtlich die Idendität eine Bijektion auf die Potenzmenge (die wieder All ist).
Unsere Menge Af ist dann gerade die Russellmenge R.

Da wir parakonsistente Mengen zulassen, ist unser Ergebnis kein Widerspruch zur Existenz von solchen Bijektionen,
in unserer Mathematik besteht daher vorläufig keine Notwendigkeit für so etwas wie Überabzählbarkeit ...

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Im Wesentlichen können wir uns also auf eine neue Aussagenlogik beziehen,
hier die Hauptideen dazu:

Aussagen können etweder wahr oder nicht wahr sein -
oder sie sind wahr und nicht wahr zugleich.
Erstere Aussagen nenne ich real, letztere virtuell.

Dabei können Aussagen aber nicht zugleich real und virtuell sein.

Für reale Aussagen gilt die klassische Logik, für virtuelle eine andere.
und am spannendsten ist es, wo beide aufeinander treffen:

zB. bei dem berühmten Lügnersatz L:
L:= Diese Aussage L ist nicht wahr.
(L ist virtuell, aber behauptet von sich, (real und) nicht wahr zu sein.)

Nun kann man auch Wahrheitstafeln analog zu einer dreiwertigen Logik
mit den Wahrheitswerten wahr (w), wahr und nicht wahr (w,-w) und nicht wahr (-w) aufstellen,
darf dabei aber nicht vergessen, dass Aussagen nur entweder real oder virtuell sein können.

Die Negation zu (w,-w) ist wieder (w,-w).
Zur Abkürzung schreibe ich z (zweiwertig) für (w,-w), also -z = z.

Eine spannende Funktion ist rA := -(A=-A)
In Worten Aussage "A ist real" bzw. "nicht (A und nicht A sind gleich)"
Diese verwandelt eine virtuelle Aussage in eine (nicht wahre) reale
(und die reale wahren und nichtwahren Aussagen in reale wahre).

In Tabellenform:

A rA
--------
-w w
z -w
w w

Umgekehrt verwandelt folgende Funktion (Metamorphose m) virtuelles in reales und umgekehrt:

A mA
--------
-w z
z w
w z

Als nächstes sind nun noch die zweiwertigen Funktionen festzulegen (A=B, A oder B, A und B, A -> B, ...)

und wir haben unsere "virtuelle Logik" mit der wir eine neue Mengenlehre, Mathematik und vielleicht auch Philosophie versuchen können.

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Noch einmal neu und einfacher über einen Analogieschluss angesetzt:

http://www.ask1.org/post489991.html#489991

Gruß
Trestone

 

[Trestone]

Hallo,

noch eine etwas einfachere Überlegung zur Wurzel 2:

Wenn man annimmt, dass wir wie Computer nur mit begrenzt großen Zahlen agieren können
(jeder Taschenrechner und Computer hat eine grötmögliche darstellbare Zahl U,
über die hinaus er nicht rechnen kann)
und festlegen, dass für diese Zahl U gilt: U+1=U
(nach dem Motto 1,2,3,viele).

Sei zur Vereinfachung U=18.

Dann gilt 5/3 * 5/3 = 25/9 = U/9 = 2, also in einme gewissen Sinn 
Wurzel 2:=5/3
(und rational!)

Gruß
Trestone

P.S. Dann gibt es auch nur endlich viele Primzahlen: 2,3,5,7,11,13,17
und 18 hat keine eindeutige Primfaktorzerlegung, denn 5*5=7*7=2*3*3=U=18.

 

[antimagnet]

wenn U+1 gleich U, dann hast du einen widerspruch als ausgangspunkt. aus einer widersprüchlichen prämisse kann nun m.w. alles mögliche geschlussfolgert werden. d.h. natürlich kann man daraus folgern, dass wurzelzwei dann rational ist. man könnte ebenso daraus folgern, dass es irrational ist. oder zwei. oder pi. oder mittwochabend...

 

[PHI]

Genau derselben Meinung bin ich auch !!

Wenn U+1=U
Dann U-1=U

In Anspielung auf den Primfaktor-Thread:
Wenn U+1=U dann wäre U Element N und alle Brüche könnten Wurzel 2 sein.

Also was denn nU ?

Wo bleibt die Logik ?

Aber nUn gut Du sprichst hier auf den Gödel`schen Unvollständigkeitssatz an. Warum sollte deine Mathematik anders sein ?

Denn wie du denke ich weißt:
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder wiedersprüchlich oder unvollständig.

 

[PHI]

Ich habe da noch einen Einwand.
Selbst wenn du mittels deiner neuen axiomatischen "Logik" behaupten kannst
das es in deiner " Mathematik keine rationalen Zahlen gibt.
Womit ich mich wahrscheinlich nie anfreunden kann.

Wie definierst du dann die Transzendenten Zahlen ??
Denn jede transzendente Zahl ist zugleich irrational.

Sie konnten mittels eines konstruktiven Beweises bestätigt werden.
Als Bsp. wäre da die Liouville-Zahl.

Wobei Gerhard Gentzen gezeigt hat, das konstruktive Mathematik und Logik durchaus widerspruchsfrei ist und hier der Gödelsche Unvollständigkeitssatz nicht zum tragen kommt.
Siehe Gentzenscher Hauptsatz.

 

[Trestone]

wenn U+1 gleich U, dann hast du einen widerspruch als ausgangspunkt. aus einer widersprüchlichen prämisse kann nun m.w. alles mögliche geschlussfolgert werden. d.h. natürlich kann man daraus folgern, dass wurzelzwei dann rational ist. man könnte ebenso daraus folgern, dass es irrational ist. oder zwei. oder pi. oder mittwochabend...

Im "Ultrafinitismus" muss man zwischen dem Bereich unterhalb U und oberhalb U unterscheiden,
Widersprüche pflanzen sich nicht unterhalb U fort.

Vgl.dazu (leider nur englisch) http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf

hier wird noch besser vorgeschlagen, modulo U zu rechnen,
wobei U hier sehr viel größer als 18 angenommen wird ..., also U+1 = 1 usw.
(Ich glaube man nennt das Gebilde einen Ring - was widerspruchsfrei möglich ist.)

Gruß
Trestone

 

[antimagnet]

hmtja, da bin ich raus...

 

[Trestone]

Hallo,

ich folge der Anregung von Antimagnet aus dem Nachbarthread in Technik zur "Uneindeutigkeit der Primfaktorzerlegung bei großen Zahlen?"
und schließe daher diesen thread, da ich in beiden inzwischen gleiche Argumente verwende.

Hier (bei mehrdeutigen Primfaktoren) geht es ggf. weiter:

http://www.ask1.org/fortopic19514-15.html

Gruß
Trestone

 

[antimagnet]

d.h. ich mach hier zu? also, falls nicht gut, pn mir einfach...