Trestone
Großmeister
- Registriert
- 12. April 2002
- Beiträge
- 881
Hallo,
schon die alten Griechen haben sich ja überlegt,
dass die Quadratwurzel aus 2 kein rationaler Bruch sein kann
(und waren sehr erstaunt darüber).
Ich möchte nun untersuchen, welche Voraussetzungen eigentlich in diesen Beweis eingehen,
denn z.B. in der Quantenphysik hat man inzwischen einige sehr allgemeingültige Anschauungen (fast Axiome) stark modifiziert:
Ein Körper kan zu einer Zeit nur an einem Ort sein -
in: Ein Körper kann zu einer Zeit nur an einem Ort gemessen werden,
zu "nichtgemessenen" Zeiten können Körper virtuell auch zugleich an mehreren Orten sein. (vgl. Doppelspaltexperiment).
Ich vermute, dass wir bei berühmten Widerspruchsbeweisen wie dem zur Quadratwurzel 2 auch auf solche "virtuellen" Elemente stoßen,
denen wir vielleicht etwas voreilig die Eigenschaften unserer vertrauten Elemente unterstellen.
Nun zum Beweis:
Nehmen wir an, es gebe einen Bruch a/b mit (a/b)**2 = 2.
Dabei sei a/b ein vollständig gekürzter Bruch, d.h. a und b haben keine gemeinsamen Teiler und sind natürliche Zahlen.
Wir multiplizieren beide Seiten mit b**2:
a*a = 2*b*b
Da die rechte Seite 2 als Faktor enthält, muss auch a den Faktor 2 enthalten, insgesamt hat die linke Seite daher mindestens den Faktor 4.
Da b teilerfremd zu a ist kann b nicht mehr den Faktor 2 enthalten,
was uns zu einem Widerspruch bringt.
Wo in dem Beweis stecken nun "virtuelle" Elemente?
Nun, schon a und b sind hypothetisch und nicht konkret.
Daher ist z.B. die Annahme der Kürzbarkeit in einem solchen "virtuellen" Bruch nicht gesichert.
Auch ob eine eindeutige Darstellung a/b existiert, erscheint mir nicht gesichert.
Was wir bewiesen haben: Mit konkreten Brüchen a/b ist Wurzel 2 nicht daerstellbar - mit virtuellen Brüchen (was immer das wäre) aber vielleicht doch...
(Geht analog übrigens bestimmt auch mit dem Beweis zur (scheinbaren) Überabzählbarkeit der reelen Zahlen)
Fehlt nur noch eine etwas ausgearbeitetere Darstellung der virtuellen Zahlen und ihrer Eigenschaften ...
Gruß
Trestone
schon die alten Griechen haben sich ja überlegt,
dass die Quadratwurzel aus 2 kein rationaler Bruch sein kann
(und waren sehr erstaunt darüber).
Ich möchte nun untersuchen, welche Voraussetzungen eigentlich in diesen Beweis eingehen,
denn z.B. in der Quantenphysik hat man inzwischen einige sehr allgemeingültige Anschauungen (fast Axiome) stark modifiziert:
Ein Körper kan zu einer Zeit nur an einem Ort sein -
in: Ein Körper kann zu einer Zeit nur an einem Ort gemessen werden,
zu "nichtgemessenen" Zeiten können Körper virtuell auch zugleich an mehreren Orten sein. (vgl. Doppelspaltexperiment).
Ich vermute, dass wir bei berühmten Widerspruchsbeweisen wie dem zur Quadratwurzel 2 auch auf solche "virtuellen" Elemente stoßen,
denen wir vielleicht etwas voreilig die Eigenschaften unserer vertrauten Elemente unterstellen.
Nun zum Beweis:
Nehmen wir an, es gebe einen Bruch a/b mit (a/b)**2 = 2.
Dabei sei a/b ein vollständig gekürzter Bruch, d.h. a und b haben keine gemeinsamen Teiler und sind natürliche Zahlen.
Wir multiplizieren beide Seiten mit b**2:
a*a = 2*b*b
Da die rechte Seite 2 als Faktor enthält, muss auch a den Faktor 2 enthalten, insgesamt hat die linke Seite daher mindestens den Faktor 4.
Da b teilerfremd zu a ist kann b nicht mehr den Faktor 2 enthalten,
was uns zu einem Widerspruch bringt.
Wo in dem Beweis stecken nun "virtuelle" Elemente?
Nun, schon a und b sind hypothetisch und nicht konkret.
Daher ist z.B. die Annahme der Kürzbarkeit in einem solchen "virtuellen" Bruch nicht gesichert.
Auch ob eine eindeutige Darstellung a/b existiert, erscheint mir nicht gesichert.
Was wir bewiesen haben: Mit konkreten Brüchen a/b ist Wurzel 2 nicht daerstellbar - mit virtuellen Brüchen (was immer das wäre) aber vielleicht doch...
(Geht analog übrigens bestimmt auch mit dem Beweis zur (scheinbaren) Überabzählbarkeit der reelen Zahlen)
Fehlt nur noch eine etwas ausgearbeitetere Darstellung der virtuellen Zahlen und ihrer Eigenschaften ...
Gruß
Trestone