Trestone
Großmeister
- Registriert
- 12. April 2002
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- Ersteller
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Primzahlen und Stufen: eine seltsame Verbindung
Hallo,
wir hatten ja schon gesehen, dass Primzahlzerlegungen stufenübergreifend
(und damit auch zu verschiedenen Zeitpunkten) nicht mehr eindeutig sein müssen.
Doch schon bei Euklids berühmten Beweis, dass man zu gegebenen endlich vielen Primzahlen
immer neue konstruieren kann, spielen Stufen eine Rolle
(er bleibt in seiner Ursprungsform richtig):
Nehmen wir frei nach Euklid an, wir hätten die n Primzahlen p1, p2, …, pn in Stufe k.
Dann bilden wir ihr Produkt p1*p2*...*pn und addieren 1 und nennen diese Zahl p.
p ist nach Konstruktion nicht teilbar durch p1, p2,...,pn (in Stufe k+1)
Also ist p entweder selbst prim oder p hat Primteiler ungleich p1,p2,...,pn (in Stufe k+1).
Nun gehören p und seine Primteiler zur Stufe k+1, wir haben also eine neue Primzahl
nicht in der Ausgangsstufe k konstruiert, sondern in Stufe k+1.
Begründung: Wir müssen zur Konstruktion von p Eigenschaften/Zahlen aus Stufe k kennen, das geht erst in Stufe k+1.
Umgekehrt müssen die Ausgangsprimzahlen p1,p2,...,pn in Stufe k+1 nicht prim sein
(wegen der nicht eindeutigen Primzahlzerlegung in verschiedenen Stufen.).
Wir haben also nur gezeigt:
In jeder Stufe k+1 kann man neue Primzahlen konstruieren,
es könnte aber je Stufe nur endlich viele geben.
(Das klappt auch, wenn die p1,p2,...,pn aus verschiedenen Stufen kommen.)
Die klassische Formulierung „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ ist also nur eingeschränkt richtig:
„Über alle Stufen gibt es unendlich viele Zahlen,
die in mindestens einer Stufe prim sind“
ist richtig.
Aber „Es gibt Stufen (z.B. unsere jetzige),
in denen es unendlich viele Primzahlen gibt“
ist wahrscheinlich falsch.
Analoges gilt vermutlich für Primzahlzwillinge.
Die Primzahleigenschaft ist mit Stufenlogik also nicht nur eine Eigenschaft
von natürlichen Zahlen, sondern eine Eigenschaft von Zahlen und Stufen,
was ja auch schon die Möglichkeit von unterschiedlichen Primzahlzerlegungen
in unterschiedlichen Stufen andeutete.
Schon die klassischen Primzahlen widersetzten sich ja einigen Zähmungsversuchen
der Mathematiker (Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, Goldbachsche Vermutung, Primzahlzwillinge),
ob das mit den Stufenprimzahlen einfacher oder schlimmer wird kann ich nicht beurteilen (ich vermute schlimmer …).
Insgesamt scheint es eine enge Verbindung von Primzahlen und Stufen zu geben – und noch genug offene Fragen ...
Gruß
Trestone
Hallo,
wir hatten ja schon gesehen, dass Primzahlzerlegungen stufenübergreifend
(und damit auch zu verschiedenen Zeitpunkten) nicht mehr eindeutig sein müssen.
Doch schon bei Euklids berühmten Beweis, dass man zu gegebenen endlich vielen Primzahlen
immer neue konstruieren kann, spielen Stufen eine Rolle
(er bleibt in seiner Ursprungsform richtig):
Nehmen wir frei nach Euklid an, wir hätten die n Primzahlen p1, p2, …, pn in Stufe k.
Dann bilden wir ihr Produkt p1*p2*...*pn und addieren 1 und nennen diese Zahl p.
p ist nach Konstruktion nicht teilbar durch p1, p2,...,pn (in Stufe k+1)
Also ist p entweder selbst prim oder p hat Primteiler ungleich p1,p2,...,pn (in Stufe k+1).
Nun gehören p und seine Primteiler zur Stufe k+1, wir haben also eine neue Primzahl
nicht in der Ausgangsstufe k konstruiert, sondern in Stufe k+1.
Begründung: Wir müssen zur Konstruktion von p Eigenschaften/Zahlen aus Stufe k kennen, das geht erst in Stufe k+1.
Umgekehrt müssen die Ausgangsprimzahlen p1,p2,...,pn in Stufe k+1 nicht prim sein
(wegen der nicht eindeutigen Primzahlzerlegung in verschiedenen Stufen.).
Wir haben also nur gezeigt:
In jeder Stufe k+1 kann man neue Primzahlen konstruieren,
es könnte aber je Stufe nur endlich viele geben.
(Das klappt auch, wenn die p1,p2,...,pn aus verschiedenen Stufen kommen.)
Die klassische Formulierung „Es gibt unendlich viele Primzahlen“ ist also nur eingeschränkt richtig:
„Über alle Stufen gibt es unendlich viele Zahlen,
die in mindestens einer Stufe prim sind“
ist richtig.
Aber „Es gibt Stufen (z.B. unsere jetzige),
in denen es unendlich viele Primzahlen gibt“
ist wahrscheinlich falsch.
Analoges gilt vermutlich für Primzahlzwillinge.
Die Primzahleigenschaft ist mit Stufenlogik also nicht nur eine Eigenschaft
von natürlichen Zahlen, sondern eine Eigenschaft von Zahlen und Stufen,
was ja auch schon die Möglichkeit von unterschiedlichen Primzahlzerlegungen
in unterschiedlichen Stufen andeutete.
Schon die klassischen Primzahlen widersetzten sich ja einigen Zähmungsversuchen
der Mathematiker (Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, Goldbachsche Vermutung, Primzahlzwillinge),
ob das mit den Stufenprimzahlen einfacher oder schlimmer wird kann ich nicht beurteilen (ich vermute schlimmer …).
Insgesamt scheint es eine enge Verbindung von Primzahlen und Stufen zu geben – und noch genug offene Fragen ...
Gruß
Trestone
